4. 已知实二次型 f=2x_(1)x_(2)+2x_(2)x_(3)-2x_(1)x_(3)，求正交变换 x=Py，将二次型化为标准形。

二次型矩阵 $ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} $。 特征值：解特征方程 $ \det(A - \lambda I) = 0 $，得 $ \lambda_1 = \lambda_2 = 1 $，$ \lambda_3 = -2 $。 特征向量： - 对于 $ \lambda_1 = 1 $，特征向量为 $ \alpha_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} $，$ \alpha_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $（正交化后单位化）。 - 对于 $ \lambda_3 = -2 $，特征向量为 $ \alpha_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} $（单位化）。 正交矩阵 $ P $： \[ P = \boxed{ \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix} } \] 标准形： \[ \boxed{y_1^2 + y_2^2 - 2y_3^2} \]