4. 已知实二次型 f=2x_(1)x_(2)+2x_(2)x_(3)-2x_(1)x_(3)，求正交变换 x=Py，将二次型化为标准形。

本题考查实二次型通过正交变换化为标准形的知识。解题的关键思路是先根据二次型写出其对应的矩阵，然后求出该矩阵的特征值和特征向量，对特征向量进行正交化和单位化，进而得到正交矩阵，最后根据特征值写出二次型的标准形。

1. 写出二次型矩阵：
   对于实二次型$f = 2x_{1}x_{2}+2x_{2}x_{3}-2x_{1}x_{3}$，其矩阵$A$的元素$a_{ij}$（$i,j = 1,2,3$）满足：当$i = j$时，$a_{ii}$为$x_{i}^{2}$的系数；当$i\neq j$时，$a_{ij}=a_{ji}$为$x_{i}x_{j}$系数的一半。所以二次型矩阵$A=\begin{pmatrix}0&1& - 1\\1&0&1\\ - 1&1&0\end{pmatrix}$。
2. 求特征值：
   解特征方程$\det(A - \lambda I)=0$，其中$I$是三阶单位矩阵，即$\begin{vmatrix}-\lambda&1& - 1\\1&-\lambda&1\\ - 1&1&-\lambda\end{vmatrix}=0$。
   根据三阶行列式的计算公式$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}$，可得：
   $\begin{align*}-\lambda\begin{vmatrix}-\lambda&1\\1&-\lambda\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}1&1\\ - 1&-\lambda\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}1&-\lambda\\ - 1&1\end{vmatrix}&=0\\-\lambda(\lambda^{2}-1)-1(-\lambda + 1)-1(1-\lambda)&=0\\-\lambda^{3}+\lambda+\lambda - 1 - 1+\lambda&=0\\-\lambda^{3}+3\lambda - 2&=0\\\lambda^{3}-3\lambda + 2&=0\\(\lambda - 1)^{2}(\lambda + 2)&=0\end{align*}$
   解得$\lambda_1=\lambda_2 = 1$，$\lambda_3=-2$。
3. 求特征向量：
   • 当$\lambda_1 = 1$时，解方程组$(A - I)X = 0$，其中$A - I=\begin{pmatrix}-1&1& - 1\\1&-1&1\\ - 1&1&-1\end{pmatrix}$，对其进行初等行变换为$\begin{pmatrix}-1&1& - 1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$，得到同解方程组$-x_1 + x_2 - x_3 = 0$。
     令$x_1 = 1$，$x_3 = 0$，则$x_2 = 1$，得到特征向量$\alpha_1=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$；令$x_1=-1$，$x_3 = 1$，则$x_2 = 0$，得到特征向量$\alpha_2=\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}$。
     由于$\alpha_1$与$\alpha_2$不正交，使用施密特正交化方法：
     令$\beta_1=\alpha_1=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$，$\beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1$，其中$(\alpha_2,\beta_1)=-1\times1 + 0\times1+1\times0=-1$，$(\beta_1,\beta_1)=1\times1 + 1\times1+0\times0 = 2$，则$\beta_2=\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}-\frac{-1}{2}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\\1\end{pmatrix}$。
     再对$\beta_1$和$\beta_2$进行单位化，$\gamma_1=\frac{\beta_1}{\vert\vert\beta_1\vert\vert}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$，$\gamma_2=\frac{\beta_2}{\vert\vert\beta_2\vert\vert}=\frac{1}{\sqrt{(-\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^2 + 1^2}}\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\\1\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}$。
   • 当$\lambda_3=-2$时，解方程组$(A + 2I)X = 0$，其中$A + 2I=\begin{pmatrix}2&1& - 1\\1&2&1\\ - 1&1&2\end{pmatrix}$，对其进行初等行变换为$\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&0&0\end{pmatrix}$，得到同解方程组$\begin{cases}x_1+x_3 = 0\\x_2+x_3 = 0\end{cases}$。
     令$x_3 = 1$，则$x_1=-1$，$x_2=-1$，得到特征向量$\alpha_3=\begin{pmatrix}1\\ - 1\\1\end{pmatrix}$，单位化得$\gamma_3=\frac{\alpha_3}{\vert\vert\alpha_3\vert\vert}=\frac{1}{\sqrt{1^2+(-1)^2 + 1^2}}\begin{pmatrix}1\\ - 1\\1\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\ - 1\\1\end{pmatrix}$。
4. 构造正交矩阵$P$：
   将单位化后的特征向量$\gamma_1$，$\gamma_2$，$\gamma_3$按列组成正交矩阵$P=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}&-\frac{1}{\sqrt{3}}\\0&\frac{2}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\end{pmatrix}$。
5. 写出标准形：
   根据正交变换的性质，二次型$f$在正交变换$x = Py$下的标准形为$f=\lambda_1y_1^{2}+\lambda_2y_2^{2}+\lambda_3y_3^{2}=y_1^{2}+y_2^{2}-2y_3^{2}$。