题目
微分方程dfrac ({d)^2x}(d{t)^2}-6dfrac (dx)(dt)+9x=0的通解为Adfrac ({d)^2x}(d{t)^2}-6dfrac (dx)(dt)+9x=0Bdfrac ({d)^2x}(d{t)^2}-6dfrac (dx)(dt)+9x=0Cdfrac ({d)^2x}(d{t)^2}-6dfrac (dx)(dt)+9x=0Ddfrac ({d)^2x}(d{t)^2}-6dfrac (dx)(dt)+9x=0
微分方程
的通解为
A
B
C
D
题目解答
答案
其特征方程
解之得
方程的通解为
解析
步骤 1：确定微分方程的特征方程
给定的微分方程是$\dfrac {{d}^{2}x}{d{t}^{2}}-6\dfrac {dx}{dt}+9x=0$。这是一个二阶常系数齐次线性微分方程。其特征方程为${r}^{2}-6r+9=0$。
步骤 2：求解特征方程
解特征方程${r}^{2}-6r+9=0$，得到${r}^{2}-6r+9=(r-3)^{2}=0$。因此，特征方程的根为$r=3$，且为重根。
步骤 3：根据特征方程的根写出通解
由于特征方程的根为$r=3$，且为重根，所以微分方程的通解形式为$x(t)=({c}_{1}+{c}_{2}t){e}^{3t}$，其中${c}_{1}$和${c}_{2}$是任意常数。
给定的微分方程是$\dfrac {{d}^{2}x}{d{t}^{2}}-6\dfrac {dx}{dt}+9x=0$。这是一个二阶常系数齐次线性微分方程。其特征方程为${r}^{2}-6r+9=0$。
步骤 2：求解特征方程
解特征方程${r}^{2}-6r+9=0$，得到${r}^{2}-6r+9=(r-3)^{2}=0$。因此，特征方程的根为$r=3$，且为重根。
步骤 3：根据特征方程的根写出通解
由于特征方程的根为$r=3$，且为重根，所以微分方程的通解形式为$x(t)=({c}_{1}+{c}_{2}t){e}^{3t}$，其中${c}_{1}$和${c}_{2}$是任意常数。