设随机变量 X 的概率密度函数是 f_X(x) = (a)/(4 + x^2), -infty A. 1/piB. 2/piC. 3/piD. 4/pi

本题考查概率密度函数的性质，解题思路是利用概率密度函数在整个定义域上的积分值为$1$这一性质来求解参数$a$。

已知随机变量$X$的概率密度函数为$f_X(x) = \frac{a}{4 + x^2}$，$-\infty < x < +\infty$，根据概率密度函数的性质可得$\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x)dx = 1$，即$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{a}{4 + x^2}dx = 1$。

1. 先对被积函数进行变形：
   将$\frac{a}{4 + x^2}$变形为$\frac{a}{2^2 + x^2}$。
2. 再利用积分公式$\int \frac{1}{a^2 + x^2}dx = \frac{1}{a}\arctan(\frac{x}{a}) + C$进行积分：
   对于$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{a}{2^2 + x^2}dx$，其中$a$为常数，$a$可以提到积分号外面，即$a\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{2^2 + x^2}dx$。
   根据上述积分公式，$\int \frac{1}{2^2 + x^2}dx = \frac{1}{2}\arctan(\frac{x}{2}) + C$，则$a\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{2^2 + x^2}dx = a\left[\frac{1}{2}\arctan(\frac{x}{2})\right]_{-\infty}^{+\infty}$。
3. 计算定积分的值：
   $\lim\limits_{x \to +\infty} \arctan(\frac{x}{2}) = \frac{\pi}{2}$，$\lim\limits_{x \to -\infty} \arctan(\frac{x}{2}) = -\frac{\pi}{2}$。
   所以$a\left[\frac{1}{2}\arctan(\frac{x}{2})\right]_{-\infty}^{+\infty} = a\times\frac{1}{2}\times\left(\frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2})\right)$
   $= a\times\frac{1}{2}\times\pi = \frac{a\pi}{2}$。
4. 求解$a$的值：
   因为$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{a}{4 + x^2}dx = 1$，即$\frac{a\pi}{2} = 1$，解得$a = \frac{2}{\pi}$。