题目

149.(填空题)计算int(1)/(xln x)dx=____+C(lnx>0)

149.(填空题)计算$\int\frac{1}{x\ln x}dx=$____+C(lnx>0)

题目解答

答案

设 $u = \ln x$，则 $du = \frac{1}{x}dx$。代入原积分得：
$\int \frac{1}{x \ln x} \, dx = \int \frac{1}{u} \, du = \ln |u| + C$
由题意 $\ln x > 0$，故 $|u| = u$，即 $\ln |u| = \ln u$。因此，积分结果为：
$\ln \ln x + C$

答案： $\boxed{\ln \ln x + C}$

解析

本题考查不定积分的计算，解题思路是利用换元积分法来求解。换元积分法的核心思想是通过引入一个新的变量，将复杂的积分转化为较为简单的积分形式。

下面进行详细的解答：

  1. 设$u = \ln x$，对$u$求导，根据求导公式$(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$，可得$du = \frac{1}{x}dx$。
  2. 将$u = \ln x$和$du = \frac{1}{x}dx$代入原积分$\int\frac{1}{x\ln x}dx$中，原积分就变为$\int \frac{1}{u} \, du$。
  3. 根据不定积分公式$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x| + C$（$C$为常数），对$\int \frac{1}{u} \, du$进行积分，可得$\int \frac{1}{u} \, du = \ln |u| + C$。
  4. 已知条件$\ln x > 0$，因为$u = \ln x$，所以$u>0$，那么$|u| = u$，即$\ln |u| = \ln u$。
  5. 把$u = \ln x$代回$\ln u$，得到最终结果为$\ln \ln x + C$。