4.求向量组alpha_(1)=(1,1,2,3),alpha_(2)=(1,-1,1,1),alpha_(3)=(1,3,3,5),alpha_(4)=(4,-2,5,6),alpha_(5)=(3,1,5,7)的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示.

考查要点：本题主要考查向量组极大无关组的求解方法，以及用极大无关组线性表示其他向量的能力。
解题核心思路：

1. 构造矩阵：将向量组作为列向量构成矩阵。
2. 行简化阶梯形（RREF）变换：通过初等行变换化简矩阵，确定主元位置。
3. 确定极大无关组：主元所在列对应的原向量即为极大无关组。
4. 线性表示：根据行简化后的矩阵，直接读出非主元列对应的线性组合系数。

破题关键点：

• 矩阵构造与行变换：正确构造矩阵并化简是基础。
• 主元列的识别：主元所在列对应极大无关组。
• 系数提取：非主元列的行简化矩阵元素直接给出线性组合系数。

步骤1：构造矩阵

将向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5$ 作为列向量构成矩阵：
$A = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 4 & 3 \\1 & -1 & 3 & -2 & 1 \\2 & 1 & 3 & 5 & 5 \\3 & 1 & 5 & 6 & 7\end{pmatrix}$

步骤2：行简化阶梯形变换

对矩阵 $A$ 进行初等行变换，最终得到：
$\text{RREF}(A) = \begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 1 & 2 \\0 & 1 & -1 & 3 & 1 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

步骤3：确定极大无关组

• 主元位置：第一列（对应 $\alpha_1$）和第二列（对应 $\alpha_2$）存在主元，因此极大无关组为 $\{\alpha_1, \alpha_2\}$。

步骤4：线性表示其他向量

• $\alpha_3$：第三列在 RREF 中为 $[2, -1, 0, 0]^T$，对应 $\alpha_3 = 2\alpha_1 - \alpha_2$。
• $\alpha_4$：第四列在 RREF 中为 $[1, 3, 0, 0]^T$，对应 $\alpha_4 = \alpha_1 + 3\alpha_2$。
• $\alpha_5$：第五列在 RREF 中为 $[2, 1, 0, 0]^T$，对应 $\alpha_5 = 2\alpha_1 + \alpha_2$。