题目
下列各函数中哪些是周期函数?对于周期函数, 指出其周期:(1)y=cos(x−2);(2)y=cos 4x;(3)y=1+sin πx;(4)y=x cos x;(5)y=sin2 x.
下列各函数中哪些是周期函数?对于周期函数, 指出其周期:(1)y=cos(x−2);(2)y=cos 4x;(3)y=1+sin πx;(4)y=x cos x;(5)y=sin2 x.
题目解答
答案
解 (1)是周期函数, 周期为l=2π.(2)是周期函数, 周期为2π=l.(3)是周期函数, 周期为l=2.(4)不是周期函数.(5)是周期函数, 周期为l=π.
解析
步骤 1：确定周期函数的定义
周期函数是指存在一个正数T，使得对于函数f(x)的定义域内的所有x，都有f(x+T) = f(x)。T称为函数的周期。
步骤 2：分析每个函数
(1) y = cos(x−2)
根据周期函数的定义，cos(x)的周期为2π，因此cos(x−2)的周期也是2π。
(2) y = cos 4x
cos(x)的周期为2π，因此cos(4x)的周期为2π/4 = π/2。
(3) y = 1 + sin πx
sin(x)的周期为2π，因此sin(πx)的周期为2π/π = 2。加上常数1不影响周期。
(4) y = x cos x
x cos x不是周期函数，因为x的线性增长会破坏周期性。
(5) y = sin^2 x
sin^2(x)的周期为π，因为sin(x)的周期为2π，而sin^2(x)的周期是sin(x)周期的一半。
周期函数是指存在一个正数T，使得对于函数f(x)的定义域内的所有x，都有f(x+T) = f(x)。T称为函数的周期。
步骤 2：分析每个函数
(1) y = cos(x−2)
根据周期函数的定义，cos(x)的周期为2π，因此cos(x−2)的周期也是2π。
(2) y = cos 4x
cos(x)的周期为2π，因此cos(4x)的周期为2π/4 = π/2。
(3) y = 1 + sin πx
sin(x)的周期为2π，因此sin(πx)的周期为2π/π = 2。加上常数1不影响周期。
(4) y = x cos x
x cos x不是周期函数，因为x的线性增长会破坏周期性。
(5) y = sin^2 x
sin^2(x)的周期为π，因为sin(x)的周期为2π，而sin^2(x)的周期是sin(x)周期的一半。