149 设 (0)=0, 则 lim _(xarrow 0)dfrac (f({x)^2)}({x)^2} 存在是f(x)在 x=0 可导的-|||-(A)充分非必要条件. (B)必要非充分条件.-|||-(C)充分必要条件. (D)既非充分又非必要条件.A、AB、BC、CD、D

考查要点：本题主要考查导数的定义及极限存在性与可导条件之间的逻辑关系。关键在于理解导数存在性与相关极限的关系，以及必要条件与充分条件的判断。

解题核心思路：

1. 导数定义：若$f(x)$在$x=0$处可导，则$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}$存在。
2. 题目极限分析：$\lim_{x \to 0} \frac{f(x^2)}{x^2}$可转化为$\lim_{t \to 0^+} \frac{f(t)}{t}$（令$t = x^2$）。
3. 必要性：若$f(x)$在$x=0$可导，则$\lim_{t \to 0} \frac{f(t)}{t}$存在，因此$\lim_{x \to 0} \frac{f(x^2)}{x^2}$必然存在，说明可导性保证极限存在。
4. 非充分性：存在反例说明极限存在时$f(x)$在$x=0$处未必可导（如分段函数在正负方向极限不一致）。

必要性证明

若$f(x)$在$x=0$处可导，则根据导数定义：
$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}.$
令$t = x^2$，当$x \to 0$时，$t \to 0^+$，因此：
$\lim_{x \to 0} \frac{f(x^2)}{x^2} = \lim_{t \to 0^+} \frac{f(t)}{t} = f'(0).$
这说明可导性必然导致极限存在，即极限存在是可导的必要条件。

非充分性反例

构造函数：
$f(x) = \begin{cases}x, & x > 0, \\-x, & x \leq 0.\end{cases}$
此时$f(0) = 0$，且：
$\lim_{x \to 0} \frac{f(x^2)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2} = 1.$
但计算导数时：

• 当$x \to 0^+$时，$\frac{f(x)}{x} = 1$；
• 当$x \to 0^-$时，$\frac{f(x)}{x} = -1$；
  左右极限不相等，故$f(x)$在$x=0$处不可导。这说明极限存在时$f(x)$未必可导，即极限存在不是充分条件。