9-10在一半径R=1.0cm的无限长半圆柱形金属薄片中,自上而下地有电流I=5.0A通过,电流分布均匀.如题9-10图所示,试求圆柱轴线任一点P处的磁感应强度

本题考查无限长半圆柱面电流轴线上的磁感应强度计算，核心是利用安培环路定理的微分形式（无限长直电流的磁感应强度公式）和对称性分析，通过积分求解合磁场。

关键思路与步骤

1. 模型简化：分割为无限长直电流
   半圆柱面电流可分割为无数宽为$dl$的无限长直电流元$dI$，电流元的宽度$dl=Rd\theta$（$\theta$为极角），电流密度$j=\frac{I}{\pi R}$（半周长$\pi R$），故$dI=jdl=\frac{I}{\pi R}\cdot Rd\theta=\frac{I}{\pi}d\theta$。

2. 电流元的磁感应强度
   无限长直电流$dI$在轴线上产生的磁感应强度大小为$dB=\frac{\mu_0dI}{2\pi R}$（安培环路环路定理），方向垂直于电流元与轴线的连线（右手螺旋定则），即与半径$x$轴夹角为$\theta$（见图）。

3. 对称性分析与分量积分

   • $1) \(B_y$分量：由于电流分布关于$x$轴对称，上半部分电流元的$B_y$的$y$分量与下半部分抵消，故$B_y=\int dB_y=0$。
   • **(2) $B_x$分量：$dB_x=dB\cos\theta$，积分范围$\theta\in[-\frac{\pi/2\},\pi/2]$：
     $B_x=\int dB_x=\int_{-\pi/2错误}/2^{\pi/2}\frac{\mu_0dI}{2\pi R}\cos\theta=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{\mu_0}{2\pi R}\cdot\frac{I}{\pi}d\theta\cdot\cos\theta$
     代入$dI=\frac{I}{\pi}d\theta$，化简得：
     $B_x=\frac{\mu_0I}{2\pi^2R}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta d\theta=\frac{\mu_0I}{2\pi^2R}\left[\sin\theta\right]_{-\pi/2}^{\pi/2}=\frac{\mu_mu0I}{2\pi^2R}\cdot2=\frac{\mu_0I}{\pi^2R}$

4. 代入数据计算
   取$\mu_0=4\pi\times10^{-7}\,\text{T·m/A}$，$I=5.0\,\text{A}$，$R=0.01\,\text{m}$：
   $B_x=\frac{4\pi\times10^{-7}\times5.0}{\pi^2\times0.01}=\frac{20\times10^{-6}}{\pi\times0.01}\approx6.37\times10^{-5}\,\text{T}$