题目
已知函数f（x）和f（x+1）都是定义在R上的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=ax（a＞0），若方程f（x）-log2|x|=0恰好有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 ____ ．
已知函数f（x）和f（x+1）都是定义在R上的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=ax（a＞0），若方程f（x）-log2|x|=0恰好有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 ____ ．
题目解答
答案
（log23，log25）
【解析】
【分析】
得出f（x）是周期函数，引入函数g（x）=log2|x|，它也是偶函数，作出f（x）与g（x）的图象，由图象可得不等关系，从而求得参数范围．
【详解】
因为函数f（x）和f（x+1）都是定义在R上的偶函数，所以f（x）的图象既关于x=0对称，又关于对称，f（2+x）=f（1-（1+x））=f（-x）=f（x），f（x）是周期函数，周期是2，
因为函数g（x）=log2|x|也是偶函数，若方程f（x）-log2|x|=0恰好有6个不相等的实数根，则函数f（x）与g（x）的图象在（0，+∞）上恰好有3个交点，作出函数y=f（x）和g（x）=log2|x|的图象，如图所示，
所以$\left\{{\begin{array}{l}{lo{g_2}3＜a，}\\{lo{g_2}5＞a，}\end{array}}\right.$即log23＜a＜log25，所以实数a的取值范围是（log23，log25）．
故答案为：（log23，log25），
【解析】
【分析】
得出f（x）是周期函数，引入函数g（x）=log2|x|，它也是偶函数，作出f（x）与g（x）的图象，由图象可得不等关系，从而求得参数范围．
【详解】
因为函数f（x）和f（x+1）都是定义在R上的偶函数，所以f（x）的图象既关于x=0对称，又关于对称，f（2+x）=f（1-（1+x））=f（-x）=f（x），f（x）是周期函数，周期是2，
因为函数g（x）=log2|x|也是偶函数，若方程f（x）-log2|x|=0恰好有6个不相等的实数根，则函数f（x）与g（x）的图象在（0，+∞）上恰好有3个交点，作出函数y=f（x）和g（x）=log2|x|的图象，如图所示，
所以$\left\{{\begin{array}{l}{lo{g_2}3＜a，}\\{lo{g_2}5＞a，}\end{array}}\right.$即log23＜a＜log25，所以实数a的取值范围是（log23，log25）．
故答案为：（log23，log25），
解析
步骤 1：确定函数f(x)的周期性
由于f(x)和f(x+1)都是偶函数，可以得出f(x)的图象既关于x=0对称，又关于x=1对称。因此，f(x)是周期函数，周期为2。
步骤 2：引入函数g(x) = log_2|x|
函数g(x) = log_2|x|也是偶函数，因此其图象关于y轴对称。
步骤 3：分析方程f(x) - log_2|x| = 0的根
方程f(x) - log_2|x| = 0恰好有6个不相等的实数根，意味着函数f(x)与g(x)的图象在(0, +∞)上恰好有3个交点。由于f(x)和g(x)都是偶函数，因此在(-∞, 0)上也有3个交点，总共6个交点。
步骤 4：确定a的取值范围
根据函数f(x)和g(x)的图象，当x∈[0, 1]时，f(x) = ax，且f(x)在[0, 1]上是线性函数。为了使f(x)与g(x)在(0, +∞)上有3个交点，需要满足条件：log_23 < a < log_25。这是因为当x=3时，g(x) = log_23，当x=5时，g(x) = log_25。为了使f(x)与g(x)在(0, +∞)上有3个交点，a的值必须在log_23和log_25之间。
由于f(x)和f(x+1)都是偶函数，可以得出f(x)的图象既关于x=0对称，又关于x=1对称。因此，f(x)是周期函数，周期为2。
步骤 2：引入函数g(x) = log_2|x|
函数g(x) = log_2|x|也是偶函数，因此其图象关于y轴对称。
步骤 3：分析方程f(x) - log_2|x| = 0的根
方程f(x) - log_2|x| = 0恰好有6个不相等的实数根，意味着函数f(x)与g(x)的图象在(0, +∞)上恰好有3个交点。由于f(x)和g(x)都是偶函数，因此在(-∞, 0)上也有3个交点，总共6个交点。
步骤 4：确定a的取值范围
根据函数f(x)和g(x)的图象，当x∈[0, 1]时，f(x) = ax，且f(x)在[0, 1]上是线性函数。为了使f(x)与g(x)在(0, +∞)上有3个交点，需要满足条件：log_23 < a < log_25。这是因为当x=3时，g(x) = log_23，当x=5时，g(x) = log_25。为了使f(x)与g(x)在(0, +∞)上有3个交点，a的值必须在log_23和log_25之间。