题目
周长相等的平面圆线圈和正方形线圈,载有相同大小的电流。今把这两个线圈放入同一均匀磁场中,则圆线圈与正方形线圈所受最大磁力矩之比为 ________ 。(用π表示)
周长相等的平面圆线圈和正方形线圈,载有相同大小的电流。今把这两个线圈放入同一均匀磁场中,则圆线圈与正方形线圈所受最大磁力矩之比为 ________ 。(用π表示)
题目解答
答案
4:\\pi
解析
步骤 1：确定圆线圈和正方形线圈的周长
设圆线圈的半径为 \(r\)，正方形线圈的边长为 \(a\)，则圆线圈的周长为 \(2\pi r\)，正方形线圈的周长为 \(4a\)。由于周长相等，我们有 \(2\pi r = 4a\)，从而得到 \(a = \frac{\pi r}{2}\)。
步骤 2：计算圆线圈和正方形线圈的面积
圆线圈的面积为 \(S_{圆} = \pi r^2\)，正方形线圈的面积为 \(S_{正} = a^2 = \left(\frac{\pi r}{2}\right)^2 = \frac{\pi^2 r^2}{4}\)。
步骤 3：计算圆线圈和正方形线圈的最大磁力矩
磁力矩 \(M\) 与线圈的面积 \(S\) 和电流 \(I\) 成正比，即 \(M = IS\)。因此，圆线圈的最大磁力矩为 \(M_{圆} = I\pi r^2\)，正方形线圈的最大磁力矩为 \(M_{正} = I\frac{\pi^2 r^2}{4}\)。
步骤 4：计算最大磁力矩之比
最大磁力矩之比为 \(\frac{M_{圆}}{M_{正}} = \frac{I\pi r^2}{I\frac{\pi^2 r^2}{4}} = \frac{4}{\pi}\)。
设圆线圈的半径为 \(r\)，正方形线圈的边长为 \(a\)，则圆线圈的周长为 \(2\pi r\)，正方形线圈的周长为 \(4a\)。由于周长相等，我们有 \(2\pi r = 4a\)，从而得到 \(a = \frac{\pi r}{2}\)。
步骤 2：计算圆线圈和正方形线圈的面积
圆线圈的面积为 \(S_{圆} = \pi r^2\)，正方形线圈的面积为 \(S_{正} = a^2 = \left(\frac{\pi r}{2}\right)^2 = \frac{\pi^2 r^2}{4}\)。
步骤 3：计算圆线圈和正方形线圈的最大磁力矩
磁力矩 \(M\) 与线圈的面积 \(S\) 和电流 \(I\) 成正比，即 \(M = IS\)。因此，圆线圈的最大磁力矩为 \(M_{圆} = I\pi r^2\)，正方形线圈的最大磁力矩为 \(M_{正} = I\frac{\pi^2 r^2}{4}\)。
步骤 4：计算最大磁力矩之比
最大磁力矩之比为 \(\frac{M_{圆}}{M_{正}} = \frac{I\pi r^2}{I\frac{\pi^2 r^2}{4}} = \frac{4}{\pi}\)。