周长相等的平面圆线圈和正方形线圈,载有相同大小的电流。今把这两个线圈放入同一均匀磁场中,则圆线圈与正方形线圈所受最大磁力矩之比为 ________ 。(用π表示)

考查要点：本题主要考查磁场中载流线圈的磁力矩计算，以及不同平面图形在周长相等时的面积比较。

解题核心思路：

1. 磁力矩公式：最大磁力矩 $M_{\text{max}} = I \cdot S$（单匝线圈，$I$ 为电流，$S$ 为面积）。
2. 周长相等条件：分别计算圆形和正方形的面积，再求面积之比。
3. 比较面积：在周长相等时，圆的面积大于正方形的面积，需通过公式推导具体比例。

破题关键点：

• 明确最大磁力矩的决定因素：电流和线圈面积。
• 正确应用周长与面积的关系式：圆和正方形的面积公式需准确推导。

步骤1：计算圆形线圈的面积

• 周长 $C = 2\pi r$，解得半径 $r = \frac{C}{2\pi}$。
• 面积 $S_{\text{圆}} = \pi r^2 = \pi \left( \frac{C}{2\pi} \right)^2 = \frac{C^2}{4\pi}$。

步骤2：计算正方形线圈的面积

• 周长 $C = 4a$，解得边长 $a = \frac{C}{4}$。
• 面积 $S_{\text{正}} = a^2 = \left( \frac{C}{4} \right)^2 = \frac{C^2}{16}$。

步骤3：求面积之比

• 面积比 $\frac{S_{\text{圆}}}{S_{\text{正}}} = \frac{\frac{C^2}{4\pi}}{\frac{C^2}{16}} = \frac{16}{4\pi} = \frac{4}{\pi}$。

步骤4：确定磁力矩之比

• 电流相同，最大磁力矩之比等于面积之比，即 $4:\pi$。