题目

8. (2022·江苏)求不定积分int xarctan(1)/(x)dx.

8. (2022·江苏)求不定积分$\int x\arctan\frac{1}{x}dx$.

题目解答

答案

令 $u = \arctan \frac{1}{x}$，则 $du = -\frac{1}{x^2 + 1}dx$。取 $dv = xdx$，则 $v = \frac{x^2}{2}$。应用分部积分法：
$\int x \arctan \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^2}{2} \arctan \frac{1}{x} - \int \frac{x^2}{2} \left( -\frac{1}{x^2 + 1} \right) \, dx = \frac{x^2}{2} \arctan \frac{1}{x} + \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{x^2 + 1} \, dx.$
而 $\frac{x^2}{x^2 + 1} = 1 - \frac{1}{x^2 + 1}$，故：
$\int \frac{x^2}{x^2 + 1} \, dx = x - \arctan x.$
代入得：
$\int x \arctan \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^2}{2} \arctan \frac{1}{x} + \frac{1}{2} (x - \arctan x) + C = \frac{x^2}{2} \arctan \frac{1}{x} + \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \arctan x + C.$
答案：
$\boxed{\frac{x^2}{2} \arctan \frac{1}{x} + \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \arctan x + C}$

解析

本题考查不定积分的计算，主要运用分部积分法以及分式的化简来求解。解题思路如下：

  1. 首先，根据分部积分公式$\int u\mathrm{d}v = uv-\int v\mathrm{d}u$，对$\int x\arctan\frac{1}{x}\mathrm{d}x$进行处理。
    • 令$u = \arctan\frac{1}{x}$，对$u$求导，根据复合函数求导法则$(\arctan t)^\prime=\frac{1}{1 + t^2}$，这里$t=\frac{1}{x}$，$(\frac{1}{x})^\prime=-\frac{1}{x^2}$，则$\mathrm{d}u=\frac{1}{1 + (\frac{1}{x})^2}\cdot(-\frac{1}{x^2})\mathrm{d}x=-\frac{1}{x^2 + 1}\mathrm{d}x$。
    • 令$\mathrm{d}v = x\mathrm{d}x$，对$\mathrm{d}v$积分，根据积分公式$\int x^n\mathrm{d}x=\frac{x^{n + 1}}{n+1}+C(n\neq - 1)$，可得$v=\int x\mathrm{d}x=\frac{x^2}{2}$。
  2. 然后，将$u$、$v$、$\mathrm{d}u$、$\mathrm{d}v$代入分部积分公式：
    • $\int x\arctan\frac{1}{x}\mathrm{d}x=\frac{x^2}{2}\arctan\frac{1}{x}-\int\frac{x^2}{2}\cdot(-\frac{1}{x^2 + 1})\mathrm{d}x=\frac{x^2}{2}\arctan\frac{1}{x}+\frac{1}{2}\int\frac{x^2}{x^2 + 1}\mathrm{d}x$。
  3. 接着，对$\frac{x^2}{x^2 + 1}$进行化简：
    • $\frac{x^2}{x^2 + 1}=\frac{x^2 + 1-1}{x^2 + 1}=1-\frac{1}{x^2 + 1}$。
  4. 再对$\int\frac{x^2}{x^2 + 1}\mathrm{d}x$进行计算：
    • $\int\frac{x^2}{x^2 + 1}\mathrm{d}x=\int(1-\frac{1}{x^2 + 1})\mathrm{d}x$。
    • 根据积分的性质$\int(f(x)-g(x))\mathrm{d}x=\int f(x)\mathrm{d}x-\int g(x)\mathrm{d}x$，可得$\int(1-\frac{1}{x^2 + 1})\mathrm{d}x=\int 1\mathrm{d}x-\int\frac{1}{x^2 + 1}\mathrm{d}x$。
    • 由积分公式$\int 1\mathrm{d}x=x + C_1$，$\int\frac{1}{x^2 + 1}\mathrm{d}x=\arctan x + C_2$，所以$\int\frac{x^2}{x^2 + 1}\mathrm{d}x=x-\arctan x + C_3$（$C_3 = C_1 - C_2$）。
  5. 最后，将$\int\frac{x^2}{x^2 + 1}\mathrm{d}x$的结果代入前面的式子：
    • $\int x\arctan\frac{1}{x}\mathrm{d}x=\frac{x^2}{2}\arctan\frac{1}{x}+\frac{1}{2}(x - \arctan x)+C=\frac{x^2}{2}\arctan\frac{1}{x}+\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\arctan x + C$。