题目
题目 计算曲线积分 int ((x)^2y-2y)dx+(dfrac (1)(3)(x)^3-x)dy, 其中曲线为 L:x=1 =x, y=2x-|||-所围成三角形的正向边界.
题目
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域
曲线L由直线x=1，y=x，y=2x围成的三角形边界组成。因此，积分区域D是这个三角形内部的区域。
步骤 2：应用格林公式
格林公式表明，对于一个闭合曲线L，如果P和Q在D上具有连续的一阶偏导数，则有
$$\int_{L} Pdx + Qdy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dxdy$$
其中，$P = x^2y - 2y$，$Q = \frac{1}{3}x^3 - x$。
步骤 3：计算偏导数
计算$\frac{\partial Q}{\partial x}$和$\frac{\partial P}{\partial y}$：
$$\frac{\partial Q}{\partial x} = x^2 - 1$$
$$\frac{\partial P}{\partial y} = x^2 - 2$$
因此，$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = (x^2 - 1) - (x^2 - 2) = 1$。
步骤 4：计算二重积分
由于$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1$，二重积分简化为计算区域D的面积。三角形的底为1，高为1，因此面积为$\frac{1}{2}$。
曲线L由直线x=1，y=x，y=2x围成的三角形边界组成。因此，积分区域D是这个三角形内部的区域。
步骤 2：应用格林公式
格林公式表明，对于一个闭合曲线L，如果P和Q在D上具有连续的一阶偏导数，则有
$$\int_{L} Pdx + Qdy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dxdy$$
其中，$P = x^2y - 2y$，$Q = \frac{1}{3}x^3 - x$。
步骤 3：计算偏导数
计算$\frac{\partial Q}{\partial x}$和$\frac{\partial P}{\partial y}$：
$$\frac{\partial Q}{\partial x} = x^2 - 1$$
$$\frac{\partial P}{\partial y} = x^2 - 2$$
因此，$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = (x^2 - 1) - (x^2 - 2) = 1$。
步骤 4：计算二重积分
由于$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1$，二重积分简化为计算区域D的面积。三角形的底为1，高为1，因此面积为$\frac{1}{2}$。