题目

如图所示,有三个点电荷q1,q2,q3和两个闭合曲面q1,q2,q3则以下各式正确的是()q1,q2,q3q1,q2,q3q1,q2,q3q1,q2,q3q1,q2,q3

如图所示,有三个点电荷 $q_1,q_2,q_3$ 和两个闭合曲面 $S_1,S_2,$ 则以下各式正确的是()

$A.\oint_{S_1}\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{q_1}{\varepsilon_0}$

$B.\oint_{S_1}\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{q_1-q_2}{\varepsilon_0}$

$C.\oint_{S_1}\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{q_1+q_2}{\varepsilon_0}$

$D.\oint_{S_1}\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{q_1-q_2+q_3}{\varepsilon_0}$

题目解答

答案

电场的高斯定理是电磁学中的一个重要定理，它指出：在真空中，通过任一闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的所有电荷的代数和除以真空介电常数。其数学表达式为 $\Phi=\oint_S\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{\sum_{i=1}^mq_i}{\varepsilon_0}$

在图中， $S_1$ 面包围着 $q_1,-q_2$ 两个电荷，所以根据高斯定理 $\oint_{S_1}\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{q_1-q_2}{\varepsilon_0}$ ，选B。

解析

本题考查高斯定理的应用，关键在于确定闭合曲面所包围的电荷代数和。高斯定理指出：通过闭合曲面的电通量等于曲面内所有电荷的代数和除以真空介电常数。解题时需：

明确题目中闭合曲面（本题为$S_1$）包围的电荷；
将这些电荷的代数和代入公式$\int_{S}\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{S} = \frac{\sum q_{\text{内}}}{\varepsilon_0}$。

选项分析

选项B的推导

确定$S_1$包围的电荷：根据题意，$S_1$包围$q_1$和$-q_2$（假设$q_2$为负电荷）。
计算总电荷：$\sum q_{\text{内}} = q_1 + (-q_2) = q_1 - q_2$。
代入高斯定理：$\int_{S_1}\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{S} = \frac{q_1 - q_2}{\varepsilon_0}$，与选项B一致。

其他选项排除

选项A：未考虑$q_2$，错误。
选项C：分母应为$\varepsilon_0$，且未正确计算电荷代数和，错误。
选项D：$q_3$不在$S_1$内部，错误。