当 x to 0 时，sqrt(1 + ax^2) - 1 与 sin x^2 是等价无穷小，求 a 的值。

本题考查等价无穷小的概念以及极限的计算，解题思路是先根据等价无穷小的定义列出极限等式，再利用等价无穷小替换简化极限式子，最后通过洛必达法则或等价无穷小替换求出极限值，进而求得$a$的值。

1. 根据等价无穷小的定义列出极限等式：
   已知当$x \to 0$时，$\sqrt{1 + ax^2} - 1$与$\sin x^2$是等价无穷小，根据等价无穷小的定义，若$\alpha(x)$与$\beta(x)$是等价无穷小，则$\lim\limits_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$，所以可得$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + ax^2} - 1}{\sin x^2} = 1$。
2. 利用等价无穷小替换简化极限式子：
   当$x \to 0$时，$\sin x^2\sim x^2$（等价无穷小替换），则$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + ax^2} - 1}{\sin x^2}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + ax^2} - 1}{x^2}$。
3. 使用洛必达法则求极限：
   此时极限$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + ax^2} - 1}{x^2}$为$\frac{0}{0}$型，可使用洛必达法则，对分子分母分别求导。
   根据求导公式$(\sqrt{u})^\prime=\frac{u^\prime}{2\sqrt{u}}$，对分子$\sqrt{1 + ax^2} - 1$求导得$(\sqrt{1 + ax^2} - 1)^\prime=\frac{2ax}{2\sqrt{1 + ax^2}}$；分母$x^2$的导数为$(x^2)^\prime = 2x$。
   所以$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + ax^2} - 1}{x^2}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{\frac{2ax}{2\sqrt{1 + ax^2}}}{2x}$。
4. 化简极限式子并计算极限值：
   对$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\frac{2ax}{2\sqrt{1 + ax^2}}}{2x}$进行化简，约去分子分母的$2x$，可得$\lim\limits_{x \to 0} \frac{a}{2\sqrt{1 + ax^2}}$。
   将$x = 0$代入$\frac{a}{2\sqrt{1 + ax^2}}$，可得$\frac{a}{2\sqrt{1 + a\times0^2}}=\frac{a}{2}$。
5. 求解$a$的值：
   因为$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + ax^2} - 1}{\sin x^2} = 1$，即$\frac{a}{2}=1$，解得$a = 2$。