计算二重积分((x+y))^2dxdy,其中((x+y))^2dxdy是由((x+y))^2dxdy和((x+y))^2dxdy围成的平面闭区域

步骤 1：确定积分区域
由$y=\sqrt {1-{x}^{2}}$和$y=0$围成的平面闭区域$D$，可以确定$D$为$x$轴上方的半圆，其半径为1，中心在原点。因此，$D$的范围为$-1\leqslant x\leqslant 1$，$0\leqslant y\leqslant \sqrt {1-{x}^{2}}$。

步骤 2：将二重积分化为极坐标形式
由于积分区域$D$为半圆，使用极坐标更方便。极坐标下，$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$dxdy=rdrd\theta$。积分区域$D$在极坐标下表示为$0\leqslant \theta\leqslant \pi$，$0\leqslant r\leqslant 1$。

步骤 3：计算二重积分
将$(x+y)^2$用极坐标表示，得到$(r\cos\theta+r\sin\theta)^2=r^2(\cos^2\theta+2\cos\theta\sin\theta+\sin^2\theta)=r^2(1+2\cos\theta\sin\theta)$。因此，二重积分变为：
\[
\iint_{D}(x+y)^2dxdy=\int_{0}^{\pi}d\theta\int_{0}^{1}r^2(1+2\cos\theta\sin\theta)rdr
\]
\[
=\int_{0}^{\pi}d\theta\int_{0}^{1}r^3(1+2\cos\theta\sin\theta)dr
\]
\[
=\int_{0}^{\pi}d\theta\left[\frac{1}{4}r^4(1+2\cos\theta\sin\theta)\right]_{0}^{1}
\]
\[
=\int_{0}^{\pi}\frac{1}{4}(1+2\cos\theta\sin\theta)d\theta
\]
\[
=\frac{1}{4}\int_{0}^{\pi}d\theta+\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\cos\theta\sin\theta d\theta
\]
\[
=\frac{1}{4}\pi+\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\frac{1}{2}\sin(2\theta)d\theta
\]
\[
=\frac{1}{4}\pi+\frac{1}{4}\left[-\frac{1}{2}\cos(2\theta)\right]_{0}^{\pi}
\]
\[
=\frac{1}{4}\pi+\frac{1}{4}\left[-\frac{1}{2}\cos(2\pi)+\frac{1}{2}\cos(0)\right]
\]
\[
=\frac{1}{4}\pi+\frac{1}{4}\left[-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right]
\]
\[
=\frac{1}{4}\pi
\]