齐次线性方程组 } lambda x_1 + x_2 + x_3 = 0 x_1 + lambda x_2 + x_3 = 0 x_1 + x_2 + lambda x_3 = 0 有非零解的充要条件为(）. A lambda = 0 B lambda = 1 C lambda = -2 D lambda = 1 或 lambda = -2

为了确定齐次线性方程组 \[ \begin{cases} \lambda x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0 \\ x_{1} + \lambda x_{2} + x_{3} = 0 \\ x_{1} + x_{2} + \lambda x_{3} = 0 \end{cases} \] 有非零解的充要条件，我们需要分析该方程组的系数矩阵的行列式。一个齐次线性方程组有非零解当且仅当其系数矩阵的行列式为零。 该方程组的系数矩阵为 \[ A = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{pmatrix}. \] 我们需要计算行列式 $\det(A)$ 并找到使其为零的 $\lambda$ 的值。 矩阵 $A$ 的行列式为 \[ \det(A) = \begin{vmatrix} \lambda & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{vmatrix}. \] 我们可以沿第一行使用余子式展开来计算这个行列式： \[ \det(A) = \lambda \begin{vmatrix} \lambda & 1 \\ 1 & \lambda \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & \lambda \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & \lambda \\ 1 & 1 \end{vmatrix}. \] 计算 2x2 行列式，我们得到 \[ \begin{vmatrix} \lambda & 1 \\ 1 & \lambda \end{vmatrix} = \lambda^2 - 1, \] \[ \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & \lambda \end{vmatrix} = \lambda - 1, \] \[ \begin{vmatrix} 1 & \lambda \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - \lambda. \] 将这些代回行列式表达式，我们有 \[ \det(A) = \lambda (\lambda^2 - 1) - 1 (\lambda - 1) + 1 (1 - \lambda) = \lambda^3 - \lambda - \lambda + 1 + 1 - \lambda = \lambda^3 - 3\lambda + 2. \] 我们需要找到使 $\lambda^3 - 3\lambda + 2 = 0$ 的 $\lambda$ 的值。我们可以将这个多项式因式分解： \[ \lambda^3 - 3\lambda + 2 = (\lambda - 1)^2 (\lambda + 2). \] 将每个因子设为零，我们得到 \[ \lambda - 1 = 0 \quad \text{或} \quad \lambda + 2 = 0, \] 因此 \[ \lambda = 1 \quad \text{或} \quad \lambda = -2. \] 因此，齐次线性方程组有非零解的充要条件是 $\lambda = 1$ 或 $\lambda = -2$。 正确答案是 $\boxed{D}$。