题目

19.以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间(以min计)，的分布函数是F_(x)(x)=}1-e^-0.4x,&x>0,0,&xleqslant 0.求下述概率:(1)P(至多3min).(2)P(至少4min).(3)P(3min至4min之间).(4)P(至多3min或至少4min).(5)P(恰好2.5min).

19.以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间(以min计)，的分布函数是 $F_{x}(x)=\begin{cases}1-e^{-0.4x},&x>0,\\0,&x\leqslant 0.\end{cases}$ 求下述概率: (1)P{至多3min}. (2)P{至少4min}. (3)P{3min至4min之间}. (4)P{至多3min或至少4min}. (5)P{恰好2.5min}.

题目解答

答案

(1) $P(X \leq 3) = F_X(3) = 1 - e^{-1.2}$。 (2) $P(X \geq 4) = 1 - F_X(4) = e^{-1.6}$。 (3) $P(3 \leq X \leq 4) = F_X(4) - F_X(3) = e^{-1.2} - e^{-1.6}$。 (4) $P((X \leq 3) \cup (X \geq 4)) = P(X \leq 3) + P(X \geq 4) = 1 - e^{-1.2} + e^{-1.6}$。 (5) $P(X = 2.5) = 0$（连续型随机变量单点概率为0）。 \[ \boxed{ \begin{array}{ll} (1) & 1 - e^{-1.2} \\ (2) & e^{-1.6} \\ (3) & e^{-1.2} - e^{-1.6} \\ (4) & 1 - e^{-1.2} + e^{-1.6} \\ (5) & 0 \\ \end{array} } \]

解析

考查要点：本题主要考查连续型随机变量分布函数的应用，涉及概率计算的基本方法，包括至多、至少、区间概率的计算，以及互斥事件的概率加法和连续型变量单点概率为零的性质。

解题核心思路：

  1. 直接代入分布函数：对于“至多”问题，直接使用分布函数在对应点的值。
  2. 补集思想：对于“至少”问题，利用概率的补集公式计算。
  3. 区间概率差值：区间概率通过分布函数的差值计算。
  4. 互斥事件加法：若事件互斥，概率可直接相加。
  5. 连续型变量特性：单点概率为0。

破题关键点：正确识别题目中的事件类型（如“至多”对应左闭区间，“至少”对应右闭区间），并灵活运用分布函数的定义和性质。

第（1）题

P{至多3分钟}
根据分布函数定义，$P(X \leq 3) = F_X(3)$。
代入分布函数表达式：
$F_X(3) = 1 - e^{-0.4 \times 3} = 1 - e^{-1.2}.$

第（2）题

P{至少4分钟}
“至少4分钟”等价于$X \geq 4$，利用补集公式：
$P(X \geq 4) = 1 - P(X < 4) = 1 - F_X(4).$
计算得：
$F_X(4) = 1 - e^{-0.4 \times 4} = 1 - e^{-1.6},$
因此：
$P(X \geq 4) = e^{-1.6}.$

第（3）题

P{3至4分钟之间}
区间概率为分布函数的差值：
$P(3 \leq X \leq 4) = F_X(4) - F_X(3).$
代入计算：
$F_X(4) - F_X(3) = (1 - e^{-1.6}) - (1 - e^{-1.2}) = e^{-1.2} - e^{-1.6}.$

第（4）题

P{至多3分钟或至少4分钟}
两事件互斥，概率可直接相加：
$P(X \leq 3 \cup X \geq 4) = P(X \leq 3) + P(X \geq 4).$
代入前两问结果：
$1 - e^{-1.2} + e^{-1.6}.$

第（5）题

P{恰好2.5分钟}
连续型随机变量在单点的概率为0：
$P(X = 2.5) = 0.$