1.(填空题)函数u=xy+yz+zx在点A(2，1，3)处沿A指向点B(5，5，15)方向的方向导数为____.

为了求函数 $u = xy + yz + zx$ 在点 $A(2, 1, 3)$ 处沿 $A$ 指向点 $B(5, 5, 15)$ 方向的方向导数，我们需要按照以下步骤进行： 1. 计算方向向量 $\overrightarrow{AB}$： $\overrightarrow{AB} = B - A = (5-2, 5-1, 15-3) = (3, 4, 12)$ 2. 将方向向量单位化： 首先，计算 $\overrightarrow{AB}$ 的模： $$\overrightarrow{AB}$ = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$ 单位方向向量 $\mathbf{v}$ 为： $\mathbf{v} = \left( \frac{3}{13}, \frac{4}{13}, \frac{12}{13} \right)$ 3. 计算函数 $u$ 在点 $A$ 处的梯度 $\nabla u$： 梯度 $\nabla u$ 的分量为 $u$ 对 $x$， $y$，和 $z$ 的偏导数： $\frac{\partial u}{\partial x} = y + z, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = x + z, \quad \frac{\partial u}{\partial z} = y + x$ 在点 $A(2, 1, 3)$ 处，这些偏导数为： $\frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{(2,1,3)} = 1 + 3 = 4, \quad \frac{\partial u}{\partial y} \bigg|_{(2,1,3)} = 2 + 3 = 5, \quad \frac{\partial u}{\partial z} \bigg|_{(2,1,3)} = 1 + 2 = 3$ 因此，梯度 $\nabla u$ 在点 $A$ 处为： $\nabla u \bigg|_{(2,1,3)} = (4, 5, 3)$ 4. 计算梯度与单位方向向量的点积： 方向导数 $D_{\mathbf{v}} u$ 是梯度与单位方向向量的点积： $D_{\mathbf{v}} u = \nabla u \cdot \mathbf{v} = (4, 5, 3) \cdot \left( \frac{3}{13}, \frac{4}{13}, \frac{12}{13} \right) = 4 \cdot \frac{3}{13} + 5 \cdot \frac{4}{13} + 3 \cdot \frac{12}{13} = \frac{12}{13} + \frac{20}{13} + \frac{36}{13} = \frac{68}{13}$ 因此，函数 $u = xy + yz + zx$ 在点 $A(2, 1, 3)$ 处沿 $A$ 指向点 $B(5, 5, 15)$ 方向的方向导数为 $\boxed{\frac{68}{13}}$。