6. 一大楼装有 5 台同类型的供水设备。设各台设备是否被使用相互独立。调查表明在任一时刻 t 每台设备被使用的概率为 0.1，问在同一时刻，(1) 恰有 2 台设备被使用的概率是多少？(2) 至少有 3 台设备被使用的概率是多少？(3) 至多有 3 台设备被使用的概率是多少？(4) 至少有 1 台设备被使用的概率是多少？

本题考查二项分布的实际应用，涉及独立事件的概率计算。关键点在于：

1. 识别二项分布模型：题目中设备使用相互独立，且每次试验（设备是否被使用）只有两种结果，符合二项分布条件。
2. 灵活运用概率公式：根据问题类型（恰好、至少、至多等），选择直接计算或利用补集简化运算。
3. 组合数与幂运算的准确性：需正确计算组合数（如$C(5,2)$）和概率的幂次（如$0.1^2 \cdot 0.9^3$）。

设同一时刻被使用的设备数为$X$，则$X$服从二项分布$B(n=5, p=0.1)$。

第（1）题

恰好2台设备被使用的概率：
$P(X=2) = C(5,2) \cdot 0.1^2 \cdot 0.9^{5-2} = 10 \cdot 0.01 \cdot 0.729 = 0.0729$

第（2）题

至少3台设备被使用的概率（需计算$X=3,4,5$的和）：
$\begin{aligned}P(X \geq 3) &= C(5,3) \cdot 0.1^3 \cdot 0.9^2 + C(5,4) \cdot 0.1^4 \cdot 0.9 + C(5,5) \cdot 0.1^5 \\&= 10 \cdot 0.001 \cdot 0.81 + 5 \cdot 0.0001 \cdot 0.9 + 1 \cdot 0.00001 \\&= 0.0081 + 0.00045 + 0.00001 = 0.00856\end{aligned}$

第（3）题

至多3台设备被使用的概率（利用补集简化计算）：
$\begin{aligned}P(X \leq 3) &= 1 - P(X \geq 4) \\&= 1 - \left[ C(5,4) \cdot 0.1^4 \cdot 0.9 + C(5,5) \cdot 0.1^5 \right] \\&= 1 - \left[ 5 \cdot 0.0001 \cdot 0.9 + 1 \cdot 0.00001 \right] \\&= 1 - (0.00045 + 0.00001) = 0.99954\end{aligned}$

第（4）题

至少1台设备被使用的概率（利用补集简化计算）：
$P(X \geq 1) = 1 - P(X=0) = 1 - 0.9^5 = 1 - 0.59049 = 0.40951$