题目
将曲线 cases(y^2=5z, cr x=0)绕 z轴旋转一周，所得的曲面为()。 A. 圆锥面B. 旋转抛物面C. 椭球面D. 抛物柱面
$$ 将曲线 $\cases{y^{2}=5z, \cr x=0}$绕 $z$轴旋转一周，所得的曲面为()。 $$
A. 圆锥面
B. 旋转抛物面
C. 椭球面
D. 抛物柱面
题目解答
答案
B. 旋转抛物面
解析
步骤 1：理解曲线方程
曲线方程为 $\cases{y^{2}=5z, \cr x=0}$，表示在 $x=0$ 平面上，$y$ 和 $z$ 之间的关系为 $y^{2}=5z$。这是一条抛物线，开口朝上，顶点在原点。
步骤 2：绕 $z$ 轴旋转一周
将这条抛物线绕 $z$ 轴旋转一周，会形成一个旋转曲面。由于旋转轴是 $z$ 轴，旋转后的曲面在每个垂直于 $z$ 轴的平面上的截面都是圆。因此，旋转后的曲面是一个旋转抛物面。
步骤 3：确定曲面方程
旋转抛物面的方程可以表示为 $x^{2}+y^{2}=5z$。这是因为旋转后，$x$ 和 $y$ 的平方和等于原来的 $y^{2}$，即 $x^{2}+y^{2}=5z$。
曲线方程为 $\cases{y^{2}=5z, \cr x=0}$，表示在 $x=0$ 平面上，$y$ 和 $z$ 之间的关系为 $y^{2}=5z$。这是一条抛物线，开口朝上，顶点在原点。
步骤 2：绕 $z$ 轴旋转一周
将这条抛物线绕 $z$ 轴旋转一周，会形成一个旋转曲面。由于旋转轴是 $z$ 轴，旋转后的曲面在每个垂直于 $z$ 轴的平面上的截面都是圆。因此，旋转后的曲面是一个旋转抛物面。
步骤 3：确定曲面方程
旋转抛物面的方程可以表示为 $x^{2}+y^{2}=5z$。这是因为旋转后，$x$ 和 $y$ 的平方和等于原来的 $y^{2}$，即 $x^{2}+y^{2}=5z$。