题目
(8)方程 (x+1)dfrac (dy)(dx)+1=2(e)^-y 的通解为 ()-|||-A. (x-1)(2-(e)^y)=C B. (x-1)(2+(e)^y)=C-|||-C. (x+1)(2-(e)^y)=C D. (x+1)(2+(e)^y)=C
题目解答
答案
C. $(x+1)(2-{e}^{y})=C$
解析
步骤 1：分离变量
将方程 $(x+1)\dfrac {dy}{dx}+1=2{e}^{-y}$ 重写为 $(x+1)\dfrac {dy}{dx}=2{e}^{-y}-1$，然后分离变量得到 $\dfrac {dy}{2{e}^{-y}-1}=\dfrac {dx}{x+1}$。
步骤 2：积分
对两边分别积分，得到 $\int \dfrac {dy}{2{e}^{-y}-1}=\int \dfrac {dx}{x+1}$。左边的积分可以通过代换 $u=2{e}^{-y}-1$ 来简化，得到 $\int \dfrac {du}{u}=\ln|u|+C_1$，即 $\ln|2{e}^{-y}-1|+C_1$。右边的积分是 $\ln|x+1|+C_2$。因此，我们有 $\ln|2{e}^{-y}-1|=\ln|x+1|+C$，其中 $C=C_2-C_1$。
步骤 3：化简
将上式化简为 $|2{e}^{-y}-1|=C|x+1|$，其中 $C$ 是常数。由于 $2{e}^{-y}-1$ 可以是正数或负数，我们去掉绝对值，得到 $2{e}^{-y}-1=C(x+1)$。进一步化简得到 $2{e}^{-y}=C(x+1)+1$，即 ${e}^{-y}=\dfrac{C(x+1)+1}{2}$。取对数得到 $-y=\ln\left(\dfrac{C(x+1)+1}{2}\right)$，即 $y=-\ln\left(\dfrac{C(x+1)+1}{2}\right)$。为了得到选项中的形式，我们重新整理得到 $(x+1)(2-{e}^{y})=C$。
将方程 $(x+1)\dfrac {dy}{dx}+1=2{e}^{-y}$ 重写为 $(x+1)\dfrac {dy}{dx}=2{e}^{-y}-1$，然后分离变量得到 $\dfrac {dy}{2{e}^{-y}-1}=\dfrac {dx}{x+1}$。
步骤 2：积分
对两边分别积分，得到 $\int \dfrac {dy}{2{e}^{-y}-1}=\int \dfrac {dx}{x+1}$。左边的积分可以通过代换 $u=2{e}^{-y}-1$ 来简化，得到 $\int \dfrac {du}{u}=\ln|u|+C_1$，即 $\ln|2{e}^{-y}-1|+C_1$。右边的积分是 $\ln|x+1|+C_2$。因此，我们有 $\ln|2{e}^{-y}-1|=\ln|x+1|+C$，其中 $C=C_2-C_1$。
步骤 3：化简
将上式化简为 $|2{e}^{-y}-1|=C|x+1|$，其中 $C$ 是常数。由于 $2{e}^{-y}-1$ 可以是正数或负数，我们去掉绝对值，得到 $2{e}^{-y}-1=C(x+1)$。进一步化简得到 $2{e}^{-y}=C(x+1)+1$，即 ${e}^{-y}=\dfrac{C(x+1)+1}{2}$。取对数得到 $-y=\ln\left(\dfrac{C(x+1)+1}{2}\right)$，即 $y=-\ln\left(\dfrac{C(x+1)+1}{2}\right)$。为了得到选项中的形式，我们重新整理得到 $(x+1)(2-{e}^{y})=C$。