2-2 求下列函数的拉普拉斯变换,假定当 lt 0 时, (t)=0-|||-1) (t)=5(1-cos 3t)-|||-2) (t)=(1+t+(t)^2)(e)^-t-|||-3) (t)=(e)^-0.5tsin 10t-|||-4) f(t)= ) sin t(0leqslant tleqslant pi ) 0 (或) .

步骤 1：求 $f(t)=5(1-\cos 3t)$ 的拉普拉斯变换
根据拉普拉斯变换的定义，$L\{f(t)\} = \int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)dt$。对于 $f(t)=5(1-\cos 3t)$，我们首先将其分解为两个部分，然后分别求拉普拉斯变换。
步骤 2：求 $f(t)=(1+t+{t}^{2}){e}^{-t}$ 的拉普拉斯变换
对于 $f(t)=(1+t+{t}^{2}){e}^{-t}$，我们同样使用拉普拉斯变换的定义，但需要注意到 $e^{-t}$ 的拉普拉斯变换为 $\frac{1}{s+1}$，然后利用拉普拉斯变换的线性性质和幂函数的拉普拉斯变换公式。
步骤 3：求 $f(t)={e}^{-0.5t}\sin 10t$ 的拉普拉斯变换
对于 $f(t)={e}^{-0.5t}\sin 10t$，我们利用拉普拉斯变换的线性性质和正弦函数的拉普拉斯变换公式，同时考虑到指数函数的拉普拉斯变换。
步骤 4：求 $f(t)=\left \{ \begin{matrix} \sin t\quad (0\leqslant t\leqslant \pi )\\ 0\quad (\erasure \end{matrix} \right.$ 的拉普拉斯变换
对于分段函数 $f(t)$，我们利用拉普拉斯变换的定义，注意到在 $t>\pi$ 时，$f(t)=0$，因此拉普拉斯变换的积分上限为 $\pi$，然后利用正弦函数的拉普拉斯变换公式。