题目

曲线=(x)^3-6(x)^2 -1的拐点坐标是________.

曲线的拐点坐标是________.

题目解答

答案

求曲线的拐点坐标，首先了解拐点的求法；首先求出，，故，其次令，，求出一点，则，最后在判断在左右两侧附近的符号，若两侧符号相反，则为曲线的拐点，反之则不是拐点，通过判断，当，，故是拐点，代入可得，故曲线的拐点坐标是。

解析

拐点是曲线凹凸性发生改变的点。求解拐点的步骤如下：

  1. 求二阶导数，找到二阶导数为零的点；
  2. 判断二阶导数在该点两侧的符号，若符号改变，则该点为拐点；
  3. 代入原函数计算拐点的纵坐标。

本题的关键在于正确求导并验证凹凸性变化。

步骤1：求一阶导数和二阶导数

原函数为 $y = x^3 - 6x^2 - 1$，则：

  • 一阶导数：$y' = 3x^2 - 12x$；
  • 二阶导数：$y'' = 6x - 12$。

步骤2：求二阶导数为零的点

解方程 $y'' = 0$：
$6x - 12 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2.$

步骤3：判断凹凸性变化

  • 当 $x < 2$ 时，取 $x = 1$，则 $y'' = 6(1) - 12 = -6 < 0$，曲线向下凹；
  • 当 $x > 2$ 时，取 $x = 3$，则 $y'' = 6(3) - 12 = 6 > 0$，曲线向上凹。

结论：二阶导数在 $x = 2$ 处符号由负变正，凹凸性改变，故 $(2, y(2))$ 是拐点。

步骤4：计算拐点的纵坐标

将 $x = 2$ 代入原函数：
$y(2) = 2^3 - 6 \cdot 2^2 - 1 = 8 - 24 - 1 = -17.$