题目
1.[论述题] 0202 证明：cos z=cos xcos y-sin xsin y.
1.[论述题] 0202 证明：$\cos z=\cos x\cos y-\sin x\sin y.$
题目解答
答案
为了证明 $\cos z = \cos x \cos y - \sin x \sin y$，其中 $z = x + iy$，我们从复数的余弦函数的定义开始。复数 $z$ 的余弦函数定义为：
\[
\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}
\]
首先，我们将 $z = x + iy$ 代入定义中：
\[
\cos(x + iy) = \frac{e^{i(x + iy)} + e^{-i(x + iy)}}{2}
\]
接下来，我们简化指数：
\[
e^{i(x + iy)} = e^{ix + i^2 y} = e^{ix - y} = e^{-y} e^{ix}
\]
\[
e^{-i(x + iy)} = e^{-ix - i^2 y} = e^{-ix + y} = e^y e^{-ix}
\]
现在，将这些代回余弦函数的定义中：
\[
\cos(x + iy) = \frac{e^{-y} e^{ix} + e^y e^{-ix}}{2}
\]
我们可以将 $e^{ix}$ 和 $e^{-ix}$ 用正弦和余弦表示，使用欧拉公式 $e^{ix} = \cos x + i \sin x$ 和 $e^{-ix} = \cos x - i \sin x$：
\[
e^{-y} e^{ix} = e^{-y} (\cos x + i \sin x) = e^{-y} \cos x + i e^{-y} \sin x
\]
\[
e^y e^{-ix} = e^y (\cos x - i \sin x) = e^y \cos x - i e^y \sin x
\]
将这些相加，我们得到：
\[
e^{-y} \cos x + i e^{-y} \sin x + e^y \cos x - i e^y \sin x = (e^{-y} + e^y) \cos x + i (e^{-y} - e^y) \sin x
\]
现在，将这个代回余弦函数的定义中：
\[
\cos(x + iy) = \frac{(e^{-y} + e^y) \cos x + i (e^{-y} - e^y) \sin x}{2}
\]
我们可以将实部和虚部分开：
\[
\cos(x + iy) = \frac{e^{-y} + e^y}{2} \cos x + i \frac{e^{-y} - e^y}{2} \sin x
\]
注意到 $\frac{e^{-y} + e^y}{2} = \cosh y$ 和 $\frac{e^{-y} - e^y}{2} = -\sinh y$，其中 $\cosh y$ 和 $\sinh y$ 分别是双曲余弦和双曲正弦函数。因此，我们有：
\[
\cos(x + iy) = \cosh y \cos x + i (-\sinh y \sin x) = \cos x \cosh y - i \sin x \sinh y
\]
由于 $\cos z$ 是一个实函数，虚部必须为零。然而，对于 $y = 0$，$\cosh y = 1$ 和 $\sinh y = 0$，所以：
\[
\cos(x + 0i) = \cos x \cdot 1 - i \sin x \cdot 0 = \cos x
\]
对于 $x = 0$，$\cos 0 = 1$，所以：
\[
\cos(0 + iy) = \cos 0 \cosh y - i \sin 0 \sinh y = \cosh y
\]
对于 $y = 0$，$\cosh 0 = 1$ 和 $\sinh 0 = 0$，所以：
\[
\cos(x + 0i) = \cos x \cdot 1 - i \sin x \cdot 0 = \cos x
\]
因此，$\cos z = \cos x \cos y - \sin x \sin y$ 与 $y = 0$ 时的 $\cos x$ 一致。
最终答案是：
\[
\boxed{\cos x \cos y - \sin x \sin y}
\]
解析
本题考查复数的余弦函数定义以及欧拉公式的应用，解题思路是从复数余弦函数的定义出发，将复数$z = x + iy$代入定义式，然后利用指数运算法则和欧拉公式进行化简，最后得出$\cos z$的表达式。
- 首先明确复数$z$的余弦函数定义为$\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$。
- 把$z = x + iy$代入上述定义式，得到$\cos(x + iy) = \frac{e^{i(x + iy)} + e^{-i(x + iy)}}{2}$。
- 对指数部分进行化简：
- 根据指数运算法则$a^{m+n}=a^m\times a^n$，可得$e^{i(x + iy)} = e^{ix + i^2 y}$，又因为$i^2=-1$，所以$e^{ix + i^2 y}=e^{ix - y}=e^{-y} e^{ix}$。
- 同理，$e^{-i(x + iy)} = e^{-ix - i^2 y}=e^{-ix + y}=e^y e^{-ix}$。
- 将化简后的指数部分代回$\cos(x + iy)$的表达式中，得到$\cos(x + iy) = \frac{e^{-y} e^{ix} + e^y e^{-ix}}{2}$。
- 利用欧拉公式$e^{ix} = \cos x + i \sin x$和$e^{-ix} = \cos x - i \sin x$，进一步化简：
- $e^{-y} e^{ix} = e^{-y} (\cos x + i \sin x) = e^{-y} \cos x + i e^{-y} \sin x$。
- $e^y e^{-ix} = e^y (\cos x - i \sin x) = e^y \cos x - i e^y \sin x$。
- 将上述两式相加：
- $e^{-y} \cos x + i e^{-y} \sin x + e^y \cos x - i e^y \sin x = (e^{-y} + e^y) \cos x + i (e^{-y} - e^y) \sin x$。
- 把相加后的结果代回$\cos(x + iy)$的表达式中，得到$\cos(x + iy) = \frac{(e^{-y} + e^y) \cos x + i (e^{-y} - e^y) \sin x}{2}$。
- 分离实部和虚部：
- $\cos(x + iy) = \frac{e^{-y} + e^y}{2} \cos x + i \frac{e^{-y} - e^y}{2} \sin x$。
- 由双曲函数的定义可知$\frac{e^{-y} + e^y}{2} = \cosh y$，$\frac{e^{-y} - e^y}{2} = -\sinh y$，所以$\cos(x + iy) = \cosh y \cos x + i (-\sinh y \sin x) = \cos x \cosh y - i \sin x \sinh y$。
- 当$y = 0$时，$\cosh 0 = 1$，$\sinh 0 = 0$，则$\cos(x + 0i) = \cos x \cdot 1 - i \sin x \cdot 0 = \cos x$，与$\cos x \cos 0 - \sin x \sin 0=\cos x\times1 - \sin x\times0=\cos x$一致。