题目
求极限lim _(xarrow 0)dfrac ({int )_(0)^x((e)^t-1)cos tdt}(xarctan x)-|||-__
求极限
题目解答
答案
解：
解析
本题考查变上限积分求导法则和洛必达法则的应用。题目中的极限形式为$\frac{0}{0}$型不定式，因此可考虑使用洛必达法则。关键在于正确求分子积分的导数（应用变上限积分求导法则）和分母函数的导数，进而化简求极限。
应用洛必达法则
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判断类型：当$x \rightarrow 0$时，分子$\int_{0}^{x}(e^t -1)\cos t \, dt \rightarrow 0$，分母$x \arctan x \rightarrow 0$，因此是$\frac{0}{0}$型不定式，适用洛必达法则。
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第一次求导：
- 分子导数：根据变上限积分求导法则，导数为被积函数在$x$处的值，即$(e^x -1)\cos x$。
- 分母导数：对$x \arctan x$求导，得$\arctan x + \frac{x}{1+x^2}$。当$x \rightarrow 0$时，$\arctan x \approx x$，$\frac{x}{1+x^2} \approx x$，因此分母导数近似为$2x$。
此时极限变为：
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(e^x -1)\cos x}{2x}$ -
第二次应用洛必达法则：
- 当$x \rightarrow 0$时，分子$(e^x -1)\cos x \rightarrow 0$，分母$2x \rightarrow 0$，仍为$\frac{0}{0}$型，再次应用洛必达法则：
- 分子导数：对$(e^x -1)\cos x$求导，得$e^x \cos x - (e^x -1)\sin x$。
- 分母导数：对$2x$求导，得$2$。
此时极限变为：
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x \cos x - (e^x -1)\sin x}{2}$ - 当$x \rightarrow 0$时，分子$(e^x -1)\cos x \rightarrow 0$，分母$2x \rightarrow 0$，仍为$\frac{0}{0}$型，再次应用洛必达法则：
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代入$x=0$：
- $e^0 = 1$，$\cos 0 = 1$，$\sin 0 = 0$，代入得：
$\frac{1 \cdot 1 - (1 -1) \cdot 0}{2} = \frac{1}{2}$
- $e^0 = 1$，$\cos 0 = 1$，$\sin 0 = 0$，代入得：