题目
[题目]-|||-7. (int )_(0)^dfrac (pi {2)}xsin xdx= ()-|||-A. -1 B.0 C.1 D.2
题目解答
答案
解析
步骤 1：应用分部积分法
分部积分法公式为 ${\int }u dv = uv - {\int }v du$。这里，我们设 $u = x$ 和 $dv = \sin x dx$，则 $du = dx$ 和 $v = -\cos x$。
步骤 2：计算积分
根据分部积分法，我们有 ${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}x\sin xdx = -x\cos x|_{0}^{\dfrac {\pi }{2}} - {\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}(-\cos x)dx$。
步骤 3：计算边界值和剩余积分
计算边界值 $-x\cos x|_{0}^{\dfrac {\pi }{2}} = -\dfrac {\pi }{2}\cos \dfrac {\pi }{2} + 0\cos 0 = 0$，因为 $\cos \dfrac {\pi }{2} = 0$。剩余积分 ${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}\cos xdx = \sin x|_{0}^{\dfrac {\pi }{2}} = \sin \dfrac {\pi }{2} - \sin 0 = 1$。
分部积分法公式为 ${\int }u dv = uv - {\int }v du$。这里，我们设 $u = x$ 和 $dv = \sin x dx$，则 $du = dx$ 和 $v = -\cos x$。
步骤 2：计算积分
根据分部积分法，我们有 ${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}x\sin xdx = -x\cos x|_{0}^{\dfrac {\pi }{2}} - {\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}(-\cos x)dx$。
步骤 3：计算边界值和剩余积分
计算边界值 $-x\cos x|_{0}^{\dfrac {\pi }{2}} = -\dfrac {\pi }{2}\cos \dfrac {\pi }{2} + 0\cos 0 = 0$，因为 $\cos \dfrac {\pi }{2} = 0$。剩余积分 ${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}\cos xdx = \sin x|_{0}^{\dfrac {\pi }{2}} = \sin \dfrac {\pi }{2} - \sin 0 = 1$。