题目
3.写出四阶行列式中含有因子a11a 23的项.
题目解答
答案
-a_{11}a_{23}a_{32}a_{44};a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}.
解析
考查要点：本题主要考查四阶行列式展开式中特定项的构成规律，需要理解行列式展开的排列组合原理。
解题核心思路：
- 排列唯一性：行列式的展开项由不同行、不同列的元素乘积构成，即每个元素来自不同行和不同列。
- 固定已知元素：题目要求项必须包含$a_{11}$和$a_{23}$，因此第一行选第1列，第二行选第3列。
- 剩余元素的排列：第三行和第四行需从剩余的列（第2列和第4列）中选择，且列不重复。
破题关键：
- 列索引不重复：第三行和第四行的列必须从剩余的列中选择，形成排列。
- 排列组合：通过穷举剩余列的排列方式，确定所有可能的乘积项。
四阶行列式的展开项为$a_{1p_1}a_{2p_2}a_{3p_3}a_{4p_4}$，其中$p_1p_2p_3p_4$是列的排列。题目要求项中包含$a_{11}$和$a_{23}$，即$p_1=1$，$p_2=3$。剩余列需从$p_3$和$p_4$中选择，且满足以下条件：
- 第三行的列：可选第2列或第4列（即$p_3=2$或$p_3=4$）。
- 第四行的列：必须选择剩余的列（若$p_3=2$，则$p_4=4$；若$p_3=4$，则$p_4=2$）。
具体分析：
- 情况1：第三行选第2列（$p_3=2$），第四行选第4列（$p_4=4$），对应项为$a_{11}a_{23}a_{32}a_{44}$。
- 情况2：第三行选第4列（$p_3=4$），第四行选第2列（$p_4=2$），对应项为$a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}$。