某新能源光伏板厂生产的光伏板无故障发电时间 X（单位：千小时）的密度函数为 f(x) = , & x geq 1, 0, & (其他). 每售出一组光伏板获利 1200 元，若在 1 千小时内出故障则免费更换，亏损 800 元；若在 1 千到 3 千小时内出故障则免费维修，公司承担维修费 300 元；3 千小时后出故障用户自行负责。(1) 写出售出一组光伏板的获利函数 Y = g(X)；(2) 求该公司售出每组光伏板的平均获利。

（1）写出售出一组光伏板的获利函数 $Y = g(X)$

根据题目给出的信息，光伏板无故障发电时间为 $X$（单位：千小时）。我们需要根据 $X$ 的不同取值范围来确定公司的获利 $Y$。

• 基础情况： 每售出一组光伏板，公司基础获利为 $1200$ 元。
• 情况一： 若在 $1$ 千小时内出故障（即 $X < 1$），则免费更换，公司亏损 $800$ 元。这意味着公司不仅没有基础利润，还额外承担了损失。
  此时的获利 $Y = 1200 - (1200 + 800) = -800$ 元。（或者直接理解为题目所述的“亏损 800 元”）。
• 情况二： 若在 $1$ 千到 $3$ 千小时内出故障（即 $1 \le X \le 3$），则免费维修，公司承担维修费 $300$ 元。
  此时的获利 $Y = 1200 - 300 = 900$ 元。
• 情况三： 若 $3$ 千小时后出故障（即 $X > 3$），用户自行负责。公司无需承担额外费用。
  此时的获利 $Y = 1200$ 元。

已知 $X$ 的密度函数为：
$f(x) = \begin{cases} \frac{2}{x^3}, & x \ge 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$
这说明 $X$ 的取值范围实际上只在 $[1, +\infty)$ 上有非零概率。因此，$X < 1$ 的概率为 $0$，但在构建完整的获利函数 $g(X)$ 时，我们依然按照题目给定的逻辑分段写出。

综合以上分析，获利函数 $Y = g(X)$ 为：
$g(X) = \begin{cases} -800, & X < 1 \\ 900, & 1 \le X \le 3 \\ 1200, & X > 3 \end{cases}$

（2）求该公司售出每组光伏板的平均获利

平均获利即为获利函数 $Y = g(X)$ 的数学期望 $E(Y)$。
根据连续型随机变量函数的期望公式：
$E(Y) = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x)f(x) dx$

由于 $f(x)$ 在 $x < 1$ 时为 $0$，且在 $x \ge 1$ 时为 $\frac{2}{x^3}$，我们可以将积分区间分为 $[1, 3]$ 和 $(3, +\infty)$ 两部分（因为 $x < 1$ 部分的积分为 $0$）。

根据第（1）问得出的 $g(X)$ 和给定的 $f(x)$：

• 当 $1 \le x \le 3$ 时，$g(x) = 900$，$f(x) = \frac{2}{x^3}$
• 当 $x > 3$ 时，$g(x) = 1200$，$f(x) = \frac{2}{x^3}$

代入期望公式计算：
$E(Y) = \int_{1}^{3} 900 \cdot \frac{2}{x^3} dx + \int_{3}^{+\infty} 1200 \cdot \frac{2}{x^3} dx$

分别计算这两个积分：

第一部分积分：
$\int_{1}^{3} 900 \cdot \frac{2}{x^3} dx = 1800 \int_{1}^{3} x^{-3} dx$
$= 1800 \left[ \frac{x^{-2}}{-2} \right]_{1}^{3}$
$= 1800 \left[ -\frac{1}{2x^2} \right]_{1}^{3}$
$= 1800 \left( -\frac{1}{2 \cdot 3^2} - \left( -\frac{1}{2 \cdot 1^2} \right) \right)$
$= 1800 \left( -\frac{1}{18} + \frac{1}{2} \right)$
$= 1800 \left( \frac{-1 + 9}{18} \right)$
$= 1800 \cdot \frac{8}{18}$
$= 800$

第二部分积分：
$\int_{3}^{+\infty} 1200 \cdot \frac{2}{x^3} dx = 2400 \int_{3}^{+\infty} x^{-3} dx$
$= 2400 \left[ \frac{x^{-2}}{-2} \right]_{3}^{+\infty}$
$= 2400 \left[ -\frac{1}{2x^2} \right]_{3}^{+\infty}$
$= 2400 \left( \lim_{x \to +\infty} \left(-\frac{1}{2x^2}\right) - \left(-\frac{1}{2 \cdot 3^2}\right) \right)$
$= 2400 \left( 0 + \frac{1}{18} \right)$
$= 2400 \cdot \frac{1}{18}$
$= \frac{2400}{18}$
$= \frac{400}{3}$

求和得到平均获利：
$E(Y) = 800 + \frac{400}{3} = \frac{2400}{3} + \frac{400}{3} = \frac{2800}{3}$

该公司售出每组光伏板的平均获利为 $\frac{2800}{3}$ 元（约 $933.33$ 元）。