题目
设L为圆周x^2+y^2=R^2的逆时针方向，则I=int_(L)xy^2dy-x^2ydx=(）.A. pi R^2B. (2)/(3)pi R^2C. (1)/(2)pi R^4D. pi R^4
设$L$为圆周$x^{2}+y^{2}=R^{2}$的逆时针方向，则$I=\int_{L}xy^{2}dy-x^{2}ydx=$(）.
A. $\pi R^{2}$
B. $\frac{2}{3}\pi R^{2}$
C. $\frac{1}{2}\pi R^{4}$
D. $\pi R^{4}$
题目解答
答案
C. $\frac{1}{2}\pi R^{4}$
解析
步骤 1：应用格林公式
格林公式是将曲线积分转换为二重积分的工具。对于给定的曲线积分 $I = \oint_{L} xy^2 \, dy - x^2y \, dx$，我们首先识别出 $P(x,y) = -x^2y$ 和 $Q(x,y) = xy^2$。根据格林公式，有 \[ I = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA. \] 其中 $D$ 是由曲线 $L$ 围成的区域，即圆盘 $x^2 + y^2 \leq R^2$。
步骤 2：计算偏导数
计算 $Q$ 对 $x$ 的偏导数和 $P$ 对 $y$ 的偏导数，得到 \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = y^2, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = -x^2. \] 因此， \[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = y^2 + x^2. \]
步骤 3：计算二重积分
将上一步得到的结果代入格林公式，得到 \[ I = \iint_{D} (x^2 + y^2) \, dA. \] 在极坐标系中，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$dA = r \, dr \, d\theta$，因此 \[ I = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} r^3 \, dr \, d\theta = \frac{\pi R^4}{2}. \] 或者使用参数方程 $x = R\cos t$，$y = R\sin t$， \[ I = \int_{0}^{2\pi} 2R^4 \cos^2 t \sin^2 t \, dt = \frac{\pi R^4}{2}. \]
格林公式是将曲线积分转换为二重积分的工具。对于给定的曲线积分 $I = \oint_{L} xy^2 \, dy - x^2y \, dx$，我们首先识别出 $P(x,y) = -x^2y$ 和 $Q(x,y) = xy^2$。根据格林公式，有 \[ I = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA. \] 其中 $D$ 是由曲线 $L$ 围成的区域，即圆盘 $x^2 + y^2 \leq R^2$。
步骤 2：计算偏导数
计算 $Q$ 对 $x$ 的偏导数和 $P$ 对 $y$ 的偏导数，得到 \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = y^2, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = -x^2. \] 因此， \[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = y^2 + x^2. \]
步骤 3：计算二重积分
将上一步得到的结果代入格林公式，得到 \[ I = \iint_{D} (x^2 + y^2) \, dA. \] 在极坐标系中，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$dA = r \, dr \, d\theta$，因此 \[ I = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} r^3 \, dr \, d\theta = \frac{\pi R^4}{2}. \] 或者使用参数方程 $x = R\cos t$，$y = R\sin t$， \[ I = \int_{0}^{2\pi} 2R^4 \cos^2 t \sin^2 t \, dt = \frac{\pi R^4}{2}. \]