题目
lim _(xarrow +infty )x(sqrt ({x)^2+1}-x)；
；
题目解答
答案
.
解析
步骤 1：识别极限形式
给定的极限形式为 $\lim _{x\rightarrow +\infty }x(\sqrt {{x}^{2}+1}-x)$，这是一个不定型的极限，因为当$x$趋向于正无穷时，$\sqrt {{x}^{2}+1}$和$x$都趋向于正无穷，所以需要进行变形处理。
步骤 2：有理化处理
为了消除不定型，我们可以通过有理化的方法来处理。具体来说，我们乘以$\sqrt {{x}^{2}+1}+x$的共轭表达式，即$\sqrt {{x}^{2}+1}+x$，这样可以将根号内的表达式转化为一个更易于处理的形式。
步骤 3：简化表达式
将原表达式乘以$\sqrt {{x}^{2}+1}+x$的共轭表达式，得到：
$$\lim _{x\rightarrow +\infty }x(\sqrt {{x}^{2}+1}-x) = \lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {x({x}^{2}+1-{x}^{2})}{\sqrt {{x}^{2}+1}+x}$$
简化后得到：
$$\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {x}{\sqrt {{x}^{2}+1}+x}$$
步骤 4：进一步简化
将分子和分母同时除以$x$，得到：
$$\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {1}{\sqrt {1+\frac{1}{{x}^{2}}}+1}$$
当$x$趋向于正无穷时，$\frac{1}{{x}^{2}}$趋向于0，所以：
$$\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {1}{\sqrt {1+0}+1} = \dfrac {1}{2}$$
给定的极限形式为 $\lim _{x\rightarrow +\infty }x(\sqrt {{x}^{2}+1}-x)$，这是一个不定型的极限，因为当$x$趋向于正无穷时，$\sqrt {{x}^{2}+1}$和$x$都趋向于正无穷，所以需要进行变形处理。
步骤 2：有理化处理
为了消除不定型，我们可以通过有理化的方法来处理。具体来说，我们乘以$\sqrt {{x}^{2}+1}+x$的共轭表达式，即$\sqrt {{x}^{2}+1}+x$，这样可以将根号内的表达式转化为一个更易于处理的形式。
步骤 3：简化表达式
将原表达式乘以$\sqrt {{x}^{2}+1}+x$的共轭表达式，得到：
$$\lim _{x\rightarrow +\infty }x(\sqrt {{x}^{2}+1}-x) = \lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {x({x}^{2}+1-{x}^{2})}{\sqrt {{x}^{2}+1}+x}$$
简化后得到：
$$\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {x}{\sqrt {{x}^{2}+1}+x}$$
步骤 4：进一步简化
将分子和分母同时除以$x$，得到：
$$\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {1}{\sqrt {1+\frac{1}{{x}^{2}}}+1}$$
当$x$趋向于正无穷时，$\frac{1}{{x}^{2}}$趋向于0，所以：
$$\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {1}{\sqrt {1+0}+1} = \dfrac {1}{2}$$