lim _(xarrow +infty )x(sqrt ({x)^2+1}-x)；

考查要点：本题主要考查无穷小量与无穷大量乘积的极限的求解方法，特别是通过有理化处理消除根号，将表达式转化为可简化形式的能力。

解题核心思路：
当遇到形如 $\infty \cdot 0$ 的不定型极限时，通常需要通过变形将其转化为分式形式，再利用等价无穷小替换或分子分母最高次项约简的方法求解。本题的关键在于分子有理化，将原式转化为分式后，通过分析分子分母的主导项求得极限。

破题关键点：

1. 有理化处理：通过乘以共轭表达式 $\sqrt{x^2+1} + x$，将原式中的根号部分消去，转化为分式形式。
2. 简化分式：分子化简后得到常数项，分母通过近似展开或直接约简，最终得到极限值。

步骤1：分子有理化
原式为 $\lim _{x\rightarrow +\infty }x(\sqrt {{x}^{2}+1}-x)$，对括号部分进行有理化：
$\begin{aligned}x(\sqrt{x^2+1} - x) &= x \cdot \frac{(\sqrt{x^2+1} - x)(\sqrt{x^2+1} + x)}{\sqrt{x^2+1} + x} \\&= x \cdot \frac{(x^2 + 1 - x^2)}{\sqrt{x^2+1} + x} \\&= \frac{x}{\sqrt{x^2+1} + x}.\end{aligned}$

步骤2：化简分式
当 $x \rightarrow +\infty$ 时，$\sqrt{x^2+1} \approx x + \frac{1}{2x}$（泰勒展开近似），因此分母可近似为：
$\sqrt{x^2+1} + x \approx \left(x + \frac{1}{2x}\right) + x = 2x + \frac{1}{2x}.$
此时分式变为：
$\frac{x}{2x + \frac{1}{2x}} = \frac{x}{2x \left(1 + \frac{1}{4x^2}\right)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{4x^2}}.$
当 $x \rightarrow +\infty$ 时，$\frac{1}{4x^2} \rightarrow 0$，故极限为 $\frac{1}{2}$。