题目
7.已知函数 (x+dfrac (1)(x))=(x)^2+dfrac (1)({x)^2} ,则 f(x)=-|||-__
题目解答
答案
解析
步骤 1：观察函数形式
观察给定的函数 $f(x+\dfrac {1}{x})={x}^{2}+\dfrac {1}{{x}^{2}}$，注意到 ${x}^{2}+\dfrac {1}{{x}^{2}}$ 可以通过 $(x+\dfrac {1}{x})^2$ 来表示，但需要减去一个常数项。
步骤 2：展开并简化
$(x+\dfrac {1}{x})^2 = x^2 + 2 + \dfrac {1}{x^2}$，因此 ${x}^{2}+\dfrac {1}{{x}^{2}} = (x+\dfrac {1}{x})^2 - 2$。
步骤 3：替换变量
将 $x+\dfrac {1}{x}$ 替换为 $t$，则有 $f(t) = t^2 - 2$。因此，$f(x) = x^2 - 2$。
步骤 4：确定定义域
由于 $x+\dfrac {1}{x}$ 的值域为 $(-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$，因此 $f(x)$ 的定义域为 $x\in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$。
观察给定的函数 $f(x+\dfrac {1}{x})={x}^{2}+\dfrac {1}{{x}^{2}}$，注意到 ${x}^{2}+\dfrac {1}{{x}^{2}}$ 可以通过 $(x+\dfrac {1}{x})^2$ 来表示，但需要减去一个常数项。
步骤 2：展开并简化
$(x+\dfrac {1}{x})^2 = x^2 + 2 + \dfrac {1}{x^2}$，因此 ${x}^{2}+\dfrac {1}{{x}^{2}} = (x+\dfrac {1}{x})^2 - 2$。
步骤 3：替换变量
将 $x+\dfrac {1}{x}$ 替换为 $t$，则有 $f(t) = t^2 - 2$。因此，$f(x) = x^2 - 2$。
步骤 4：确定定义域
由于 $x+\dfrac {1}{x}$ 的值域为 $(-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$，因此 $f(x)$ 的定义域为 $x\in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$。