设随机变量 X 的概率密度为f(x)= ) 2(x-1),1leqslant xleqslant 2 0,eeg .。

步骤 1：计算期望 E(X)
根据期望的定义，对于连续型随机变量，期望 E(X) 可以通过积分计算，即
$E(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx$。
对于本题，由于 f(x) 在区间 [1, 2] 上为 2(x-1)，在其他区间上为 0，因此
$E(X)={\int }_{1}^{2}2x(x-1)dx$。
步骤 2：计算积分
计算上述积分，得
$E(X)={\int }_{1}^{2}(2{x}^{2}-2x)dx=[ \dfrac {2{x}^{3}}{3}-{x}^{2}] }_{1}^{2}$
$=(\dfrac {2\times {2}^{3}}{3}-{2}^{2})-(\dfrac {2\times {1}^{3}}{3}-{1}^{2})$
$=(\dfrac {16}{3}-4)-(\dfrac {2}{3}-1)$
$=\dfrac {5}{3}$。
步骤 3：计算方差 D(X)
根据方差的定义，$D(X)=E({X}^{2})-{[ E(X)] }^{2}$，其中
$E({X}^{2})={\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}^{2}f(x)dx$。
对于本题，由于 f(x) 在区间 [1, 2] 上为 2(x-1)，在其他区间上为 0，因此
$E({X}^{2})={\int }_{1}^{2}2{x}^{2}(x-1)dx$。
步骤 4：计算积分
计算上述积分，得
$E({X}^{2})={\int }_{1}^{2}(2{x}^{3}-2{x}^{2})dx=[ \dfrac {{x}^{4}}{2}-\dfrac {2{x}^{3}}{3}] }_{1}^{2}$
$=(\dfrac {{2}^{4}}{2}-\dfrac {2\times {2}^{3}}{3})-(\dfrac {{1}^{4}}{2}-\dfrac {2\times {1}^{3}}{3})$
$=(8-\dfrac {16}{3})-(\dfrac {1}{2}-\dfrac {2}{3})$
$=\dfrac {17}{6}$。
步骤 5：计算方差
根据步骤 3 和步骤 4 的结果，计算方差
$D(X)=E({X}^{2})-{[ E(X)] }^{2}=\dfrac {17}{6}-{(\dfrac {5}{3})}^{2}=\dfrac {1}{18}$。