lim _(narrow infty )(dfrac (1)({n)^2+n+1}+dfrac (2)({n)^2+n+2}+... +dfrac (n)({n)^2+n+n}).

考查要点：本题主要考查数列极限的计算，特别是利用夹逼定理处理分式和式的极限问题。

解题核心思路：
当分母中的高阶项（如$n^2$）主导时，可以通过缩放分母构造上下限，将原式夹在两个易于计算的和式之间，再利用夹逼定理求极限。

破题关键点：

1. 分母的缩放：将分母$n^2 + n + k$放大或缩小为与$n^2$相关的表达式，构造上下限。
2. 和式的简化：将上下限的和式转化为等差数列求和，再通过极限运算化简。

步骤1：构造上下限

对原式中的每一项$\dfrac{k}{n^2 + n + k}$（$k=1,2,\dots,n$）：

• 下限构造：分母最小为$n^2 + n + 1$，故$\dfrac{k}{n^2 + n + k} \geq \dfrac{k}{n^2 + n + n} = \dfrac{k}{n^2 + 2n}$。
• 上限构造：分母最大为$n^2 + n + n$，故$\dfrac{k}{n^2 + n + k} \leq \dfrac{k}{n^2 + n + 1}$。

步骤2：计算上下限的和式极限

下限和式

$\sum_{k=1}^n \dfrac{k}{n^2 + 2n} = \dfrac{1}{n^2 + 2n} \cdot \dfrac{n(n+1)}{2} = \dfrac{n^2 + n}{2(n^2 + 2n)}.$
当$n \to \infty$时，分子和分母的最高次项均为$n^2$，故极限为$\dfrac{1}{2}$。

上限和式

$\sum_{k=1}^n \dfrac{k}{n^2 + n + 1} = \dfrac{1}{n^2 + n + 1} \cdot \dfrac{n(n+1)}{2} = \dfrac{n^2 + n}{2(n^2 + n + 1)}.$
同理，当$n \to \infty$时，极限也为$\dfrac{1}{2}$。

步骤3：应用夹逼定理

由于原式被夹在两个极限均为$\dfrac{1}{2}$的和式之间，根据夹逼定理，原式的极限为$\dfrac{1}{2}$。