幂级数 sum_(k=1)^infty ((z-i)^k)/(k^5) 的收敛圆为().A. |z-i|=2B. |z-i|=(1)/(2)C. |z-i|=1D. 其他.

考查要点：本题主要考查幂级数收敛圆的求解方法，需要掌握收敛半径的计算及其与收敛圆的关系。

解题核心思路：

1. 识别幂级数的标准形式，确定中心和系数。
2. 选择比值判别法或根值判别法计算收敛半径。
3. 收敛圆的方程由收敛半径直接确定。

破题关键点：

• 系数分析：级数的系数为 $\frac{1}{k^5}$，其绝对值随 $k$ 增大快速衰减。
• 判别法选择：比值判别法计算更直接，根值判别法也可快速得出结果。
• 收敛圆定义：收敛圆的半径等于收敛半径，方程为 $|z - i| = R$。

步骤1：确定幂级数形式与系数

幂级数为 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(z-i)^k}{k^5}$，中心为 $i$，系数 $a_k = \frac{1}{k^5}$。

步骤2：使用比值判别法计算收敛半径

根据比值判别法：
$R = \lim_{k \to \infty} \left| \frac{a_k}{a_{k+1}} \right| = \lim_{k \to \infty} \frac{\frac{1}{k^5}}{\frac{1}{(k+1)^5}} = \lim_{k \to \infty} \left( \frac{k+1}{k} \right)^5 = \lim_{k \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{k} \right)^5 = 1.$

步骤3：确定收敛圆方程

收敛半径 $R = 1$，因此收敛圆方程为 $|z - i| = 1$。