注 类似地，已知函数 f(x) 在 x=1 处可导，且 lim_(x to 0) (f(e^x^2) - 3f(1 + sin^2 x))/(x^2) = 2，求 f'(1).

我们来逐步分析并解决这个题目。 --- ### **题目：** 已知函数 $ f(x) $ 在 $ x=1 $ 处可导，且 $$ \lim_{x \to 0} \frac{f(e^{x^2}) - 3f(1 + \sin^2 x)}{x^2} = 2 $$ 求 $ f'(1) $。 --- ## **解题思路：** 这是一个极限题，目标是通过已知的极限信息，求出函数在某点的导数。我们注意到，极限中含有 $ f(e^{x^2}) $ 和 $ f(1 + \sin^2 x) $，这些函数在 $ x \to 0 $ 时都趋近于 $ f(1) $。因此，我们可以考虑用 **泰勒展开** 或 **导数定义** 来处理。 --- ## **第一步：观察函数在 $ x \to 0 $ 时的行为** 我们分析分子中的两个函数： - $ e^{x^2} \to 1 $，当 $ x \to 0 $ - $ \sin^2 x \to 0 $，所以 $ 1 + \sin^2 x \to 1 $ 因此，$ f(e^{x^2}) \to f(1) $，$ f(1 + \sin^2 x) \to f(1) $ 所以，分子在 $ x \to 0 $ 时趋近于 $ f(1) - 3f(1) = -2f(1) $，分母趋近于 0，因此这是一个 $ \frac{0}{0} $ 型极限，可以用 **洛必达法则** 或 **泰勒展开** 来处理。 --- ## **第二步：使用泰勒展开** 我们对 $ f(e^{x^2}) $ 和 $ f(1 + \sin^2 x) $ 在 $ x=0 $ 附近进行泰勒展开。 ### **1. 展开 $ e^{x^2} $：** $$ e^{x^2} = 1 + x^2 + \frac{x^4}{2!} + \cdots $$ 所以： $$ f(e^{x^2}) = f(1 + x^2 + \cdots) = f(1) + f'(1)(x^2) + o(x^2) $$ ### **2. 展开 $ \sin^2 x $：** $$ \sin x = x - \frac{x^3}{6} + \cdots \Rightarrow \sin^2 x = x^2 - \frac{x^4}{3} + \cdots $$ 所以： $$ 1 + \sin^2 x = 1 + x^2 + o(x^2) $$ 因此： $$ f(1 + \sin^2 x) = f(1 + x^2 + o(x^2)) = f(1) + f'(1)x^2 + o(x^2) $$ --- ## **第三步：代入原式** 原式为： $$ \lim_{x \to 0} \frac{f(e^{x^2}) - 3f(1 + \sin^2 x)}{x^2} $$ 代入上面的展开式： $$ f(e^{x^2}) = f(1) + f'(1)x^2 + o(x^2) $$ $$ f(1 + \sin^2 x) = f(1) + f'(1)x^2 + o(x^2) $$ 所以： $$ f(e^{x^2}) - 3f(1 + \sin^2 x) = [f(1) + f'(1)x^2] - 3[f(1) + f'(1)x^2] + o(x^2) $$ $$ = f(1) + f'(1)x^2 - 3f(1) - 3f'(1)x^2 + o(x^2) $$ $$ = -2f(1) - 2f'(1)x^2 + o(x^2) $$ 再除以 $ x^2 $： $$ \frac{f(e^{x^2}) - 3f(1 + \sin^2 x)}{x^2} = \frac{-2f(1) - 2f'(1)x^2 + o(x^2)}{x^2} $$ $$ = \frac{-2f(1)}{x^2} - 2f'(1) + o(1) $$ 当 $ x \to 0 $ 时，$ \frac{-2f(1)}{x^2} \to -\infty $，除非 $ f(1) = 0 $，否则极限不存在。 但题目说极限存在，且等于 2，所以必须有： $$ f(1) = 0 $$ 代入后，极限变为： $$ \lim_{x \to 0} \frac{-2f'(1)x^2 + o(x^2)}{x^2} = -2f'(1) $$ 根据题目，这个极限等于 2： $$ -2f'(1) = 2 \Rightarrow f'(1) = -1 $$ --- ## **最终答案：** $$ \boxed{f'(1) = -1} $$ --- 如有需要，我也可以用洛必达法则验证这个结果。