题目
3.(单选题)设a_(1)=(}-11（）:A 等价B 不等价
3.(单选题)设$a_{1}=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$,$a_{2}=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$,$b_{1}=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$,$b_{2}=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$,则向量组$a_{1},a_{2}$与向量组$b_{1},b_{2}$（）:
A 等价
B 不等价
题目解答
答案
为了确定向量组 $a_1, a_2$ 与向量组 $b_1, b_2$ 是否等价，我们需要检查这两个向量组是否具有相同的秩，以及它们是否可以相互线性表示。由于这两个向量组都是在 $\mathbb{R}^2$ 中，如果它们的秩都是 2，那么它们就是等价的。
首先，我们检查向量组 $a_1, a_2$ 的秩。向量组的秩等于由这些向量构成的矩阵的秩。向量 $a_1$ 和 $a_2$ 构成的矩阵是：
\[
A = \begin{pmatrix}
-1 & 1 \\
1 & 1
\end{pmatrix}
\]
我们计算矩阵 $A$ 的行列式：
\[
\det(A) = (-1)(1) - (1)(1) = -1 - 1 = -2
\]
由于行列式不为零，矩阵 $A$ 的秩为 2。因此，向量组 $a_1, a_2$ 的秩为 2。
接下来，我们检查向量组 $b_1, b_2$ 的秩。向量 $b_1$ 和 $b_2$ 构成的矩阵是：
\[
B = \begin{pmatrix}
1 & -1 \\
0 & 2
\end{pmatrix}
\]
我们计算矩阵 $B$ 的行列式：
\[
\det(B) = (1)(2) - (-1)(0) = 2
\]
由于行列式不为零，矩阵 $B$ 的秩为 2。因此，向量组 $b_1, b_2$ 的秩为 2。
由于两个向量组的秩都是 2，它们是等价的。为了进一步确认，我们可以将 $a_1, a_2$ 线性表示为 $b_1, b_2$ 的线性组合，以及将 $b_1, b_2$ 线性表示为 $a_1, a_2$ 的线性组合。但是，由于秩相等，我们已经可以得出它们等价的结论。
因此，向量组 $a_1, a_2$ 与向量组 $b_1, b_2$ 等价。答案是：
\[
\boxed{A}
\]
解析
向量组等价的判断核心在于两个条件：
- 秩相等：两个向量组的秩必须相同；
- 相互线性表示：每个向量组中的向量均可被另一个向量组线性表示。
对于二维向量组，若两个向量组成的矩阵行列式非零，则秩为2（极大线性无关组）。此时，若两向量组的秩均为2，则它们必然生成整个二维空间，从而可以互相线性表示，等价关系成立。
步骤1：计算向量组$a_1, a_2$的秩
构造矩阵$A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$，计算行列式：
$\det(A) = (-1)(1) - (1)(1) = -2 \neq 0$
因此，向量组$a_1, a_2$的秩为2。
步骤2：计算向量组$b_1, b_2$的秩
构造矩阵$B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$，计算行列式：
$\det(B) = (1)(2) - (-1)(0) = 2 \neq 0$
因此，向量组$b_1, b_2$的秩为2。
步骤3：判断等价性
两向量组秩均为2，且均为二维空间中的极大线性无关组，故它们生成相同的空间（整个$\mathbb{R}^2$）。因此，两向量组可以互相线性表示，等价关系成立。