题目

有 10 , (mol) 的气体（视为理想气体），压力为 1000 , (kPa)，温度为 300 (K)。分别求出等温下下列过程的功 W（只考虑体积功）：(1) 在空气压力为 100 , (kPa) 时，膨胀到气体压力也是 100 , (kPa)；(2) 等温可逆膨胀至气体压力为 100 , (kPa)；(3) 先在外压 500 , (kPa) 下膨胀至气体压力也是 500 , (kPa)，再等温可逆膨胀至气体压力为 100 , (kPa)。

有 $10 \, \text{mol}$ 的气体（视为理想气体），压力为 $1000 \, \text{kPa}$，温度为 $300 \text{K}$。分别求出等温下下列过程的功 $W$（只考虑体积功）：

(1) 在空气压力为 $100 \, \text{kPa}$ 时，膨胀到气体压力也是 $100 \, \text{kPa}$；

(2) 等温可逆膨胀至气体压力为 $100 \, \text{kPa}$；

(3) 先在外压 $500 \, \text{kPa}$ 下膨胀至气体压力也是 $500 \, \text{kPa}$，再等温可逆膨胀至气体压力为 $100 \, \text{kPa}$。

题目解答

答案

1. 初始体积 $ V_1 = \frac{nRT}{p_1} = 0.024942 \, \text{m}^3 $，终态体积 $ V_2 = 0.24942 \, \text{m}^3 $，中间体积 $ V = 0.049884 \, \text{m}^3 $。 2. (1) 恒定外压 $ p_{\text{外}} = 100 \, \text{kPa} $： \[ W = -p_{\text{外}} (V_2 - V_1) = -10^5 \times 0.224478 = -22.45 \, \text{kJ} \] 3. (2) 等温可逆过程： \[ W = -nRT \ln \frac{p_1}{p_2} = -10 \times 8.314 \times 300 \times \ln 10 = -57.43 \, \text{kJ} \] 4. (3) 分步过程： \[ W_1 = -5 \times 10^5 \times 0.024942 = -12.471 \, \text{kJ} \] \[ W_2 = -10 \times 8.314 \times 300 \times \ln 5 = -40.147 \, \text{kJ} \] \[ W_{\text{总}} = W_1 + W_2 = -52.62 \, \text{kJ} \] 最终结果： (1) $ W = -22.45 \, \text{kJ} $ (2) $ W = -57.43 \, \text{kJ} $ (3) $ W = -52.62 \, \text{kJ} $

解析

本题主要考察理想气体在不同过程中体积功的计算，涉及到理想气体状态方程 $pV = nRT$ 以及不同过程体积功的计算公式。解题的关键在于明确每个过程的特点，确定初末状态的体积或压力，然后根据相应公式计算体积功。

（1）在空气压力为 $100 \, \text{kPa}$ 时，膨胀到气体压力也是 $100 \, \text{kPa}$

  • 步骤一：计算初始体积 $V_1$
    根据理想气体状态方程 $pV = nRT$，可得 $V_1 = \frac{nRT}{p_1}$。
    已知 $n = 10 \, \text{mol}$，$R = 8.314 \, \text{J/(mol·K)}$，$T = 300 \, \text{K}$，$p_1 = 1000 \times 10^3 \, \text{Pa}$，代入可得：
    $\begin{align*}V_1&=\frac{10 \times 8.314 \times 300}{1000 \times 10^3}\\&=\frac{24942}{10^6}\\&= 0.024942 \, \text{m}^3\end{align*}$
  • 步骤二：计算终态体积 $V_2$
    同样根据理想气体状态方程，此时 $p_2 = 100 \times 10^3 \, \text{Pa}$，则：
    $\begin{align*}V_2&=\frac{nRT}{p_2}\\&=\frac{10 \times 8.314 \times 300}{100 \times 10^3}\\&=\frac{24942}{10^5}\\&= 0.24942 \, \text{m}^3\end{align*}$
  • 步骤三：计算体积功 $W$
    此过程为恒定外压过程，外压 $p_{外} = 100 \, \text{kPa} = 10^5 \, \text{Pa}$，根据体积功公式 $W = -p_{外}(V_2 - V_1)$，可得：
    $\begin{align*}W&=-10^5 \times (0.24942 - 0.024942)\\&=-10^5 \times 0.224478\\&= -22447.8 \, \text{J}\\&= -22.45 \, \text{kJ}\end{align*}$

（2）等温可逆膨胀至气体压力为 $100 \, \text{kPa}$

对于等温可逆过程，体积功的计算公式为 $W = -nRT \ln \frac{p_1}{p_2}$。
已知 $n = 10 \, \text{mol}$，$R = 8.314 \, \text{J/(mol·K)}$，$T = 300 \, \text{K}$，$p_1 = 1000 \, \text{kPa}$，$p_2 = 100 \, \text{kPa}$，代入可得：
$\begin{align*}W&=-10 \times 8.314 \times 300 \times \ln \frac{1000}{100}\\&=-10 \times 8.314 \times 300 \times \ln 10\\&\approx -10 \times 8.314 \times 300 \times 2.3026\\&= -57431.3 \, \text{J}\\&= -57.43 \, \text{kJ}\end{align*}$

（3）先在外压 $500 \, \text{kPa}$ 下膨胀至气体压力也是 $500 \, \text{kPa}$，再等温可逆膨胀至气体压力为 $100 \, \text{kPa}$

  • 步骤一：计算第一步的体积功 $W_1$
    • 先计算外压为 $500 \, \text{kPa}$ 时膨胀后的体积 $V$，根据理想气体状态方程 $pV = nRT$，此时 $p = 500 \times 10^3 \, \text{Pa}$，则：
      $\begin{align*}V&=\frac{nRT}{p}\\&=\frac{10 \times 8.314 \times 300}{500 \times 10^3}\\&=\frac{24942}{5 \times 10^5}\\&= 0.049884 \, \text{m}^3\end{align*}$
    • 此过程为恒定外压过程，外压 $p_{外} = 500 \, \text{kPa} = 5 \times 10^5 \, \text{Pa}$，根据体积功公式 $W = -p_{外}(V - V_1)$，可得：
      $\begin{align*}W_1&=-5 \times 10^5 \times (0.049884 - 0.024942)\\&=-5 \times 10^5 \times 0.024942\\&= -12471 \, \text{J}\\&= -12.471 \, \text{kJ}\end{align*}$
  • 步骤二：计算第二步的体积功 $W_2$
    此过程为等温可逆过程，从压力 $p_1' = 500 \, \text{kPa}$ 膨胀到 $p_2' = 100 \, \text{kPa}$，根据体积功公式 $W = -nRT \ln \frac{p_1'}{p_2'}$，可得：
    $\begin{align*}W_2&=-10 \times 8.314 \times 300 \times \ln \frac{500}{100}\\&=-10 \times 8.314 \times 300 \times \ln 5\\&\approx -10 \times 8.314 \times 300 \times 1.6094\\&= -40147.4 \, \text{J}\\&= -40.147 \, \text{kJ}\end{align*}$
  • 步骤三：计算总功 $W_{总}$
    总功等于两步过程的功之和，即 $W_{总} = W_1 + W_2$，可得：
    $\begin{align*}W_{总}&=-12.471 - 40.147\\&= -52.618 \, \text{kJ}\\&\approx -52.62 \, \text{kJ}\end{align*}$