[题目]求下列曲线所围成的图形的面积-|||-=dfrac (1)(2)(x)^2 与 ^2+(y)^2=8 (两部分都要计算).

考查要点：本题主要考查利用积分法计算由抛物线和圆围成的图形面积，涉及曲线交点的求解、积分区域的划分以及几何图形面积的计算。

解题核心思路：

1. 确定交点：联立抛物线和圆的方程，求出交点坐标，确定积分上下限。
2. 划分区域：将封闭区域分为上半部分和下半部分，分别计算面积。
3. 积分计算：对上半部分，拆分为弓形面积和抛物线与水平线围成的面积；对下半部分，利用圆的总面积减去上半部分面积。

破题关键点：

• 正确联立方程求交点，避免计算错误。
• 合理拆分积分区域，利用几何图形简化计算。
• 注意积分表达式的符号，避免因被积函数错误导致结果偏差。

步骤1：求曲线交点

联立方程 $y = \dfrac{1}{2}x^2$ 和 $x^2 + y^2 = 8$：
$x^2 + \left( \dfrac{1}{2}x^2 \right)^2 = 8 \implies x^2 + \dfrac{1}{4}x^4 = 8.$
令 $t = x^2$，方程变为：
$t^2 + 4t - 32 = 0 \implies t = \dfrac{-4 \pm \sqrt{16 + 128}}{2} = \dfrac{-4 \pm 12}{2}.$
取正根 $t = 4$，得 $x = \pm 2$，对应 $y = 2$，交点为 $A(-2, 2)$ 和 $B(2, 2)$。

步骤2：计算上半部分面积

上半部分由圆弧 $y = \sqrt{8 - x^2}$ 和抛物线 $y = \dfrac{1}{2}x^2$ 围成，面积为：
$S = \int_{-2}^{2} \left( \sqrt{8 - x^2} - \dfrac{1}{2}x^2 \right) dx.$
拆分积分：

1. 弓形面积：圆弧与直线 $y = 2$ 之间的区域：
   $S_1 = \int_{-2}^{2} \left( \sqrt{8 - x^2} - 2 \right) dx.$
   几何法计算：

   • 扇形面积：$\dfrac{1}{4} \pi (2\sqrt{2})^2 = 2\pi$，
   • 三角形面积：$\dfrac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4$，
   • 弓形面积：$S_1 = 2\pi - 4$。

2. 抛物线下方面积：直线 $y = 2$ 与抛物线之间的区域：
   $S_2 = \int_{-2}^{2} \left( 2 - \dfrac{1}{2}x^2 \right) dx = \left[ 2x - \dfrac{1}{6}x^3 \right]_{-2}^{2} = \dfrac{16}{3}.$

总上半部分面积：
$S = S_1 + S_2 = 2\pi - 4 + \dfrac{16}{3} = 2\pi + \dfrac{4}{3}.$

步骤3：计算下半部分面积

下半部分面积为圆面积减去上半部分面积：
$S' = \pi (2\sqrt{2})^2 - \left( 2\pi + \dfrac{4}{3} \right) = 8\pi - 2\pi - \dfrac{4}{3} = 6\pi - \dfrac{4}{3}.$