【2005年，第1题】x=0是f(x)=xsin(1)/(x)的（）A. 可去间断点B. 、跳跃间断点C. 、第二类间断点D. 、连续点

考查要点：本题主要考查函数在某点的连续性及间断点类型的判断，涉及极限的计算和夹逼定理的应用。

解题核心思路：

1. 判断函数在$x=0$处是否有定义：原函数$f(x)=x\sin\frac{1}{x}$在$x=0$处无定义。
2. 计算$x \to 0$时的极限：利用夹逼定理证明$\lim_{x \to 0} x\sin\frac{1}{x}=0$。
3. 确定间断点类型：若极限存在但函数值不存在，则为可去间断点。

破题关键点：

• 极限存在性：通过有界函数与无穷小量的乘积性质，确定极限为0。
• 间断点分类：根据极限存在与否及函数定义情况，区分可去间断点与其他类型。

步骤1：分析函数在$x=0$处的定义
原函数$f(x)=x\sin\frac{1}{x}$中，当$x=0$时，$\frac{1}{x}$无意义，因此$f(x)$在$x=0$处未定义。

步骤2：计算$x \to 0$时的极限
考虑极限$\lim_{x \to 0} x\sin\frac{1}{x}$：

• 由于$|\sin\frac{1}{x}| \leq 1$，故$|x\sin\frac{1}{x}| \leq |x|$。
• 当$x \to 0$时，$|x| \to 0$，根据夹逼定理，$\lim_{x \to 0} x\sin\frac{1}{x} = 0$。

步骤3：判断间断点类型

• 极限存在且为0，但函数在$x=0$处无定义。
• 可去间断点的定义：极限存在但函数值不存在或不等于极限值，可通过补充定义使函数连续。
• 因此，$x=0$是$f(x)$的可去间断点。