(本小题7分)设(x)=((2-x))^tan dfrac (pi {2)x},(dfrac (1)(2)lt xlt 1),求(x)=((2-x))^tan dfrac (pi {2)x},(dfrac (1)(2)lt xlt 1)。

考查要点：本题主要考查对数求导法的应用，适用于复杂函数（如幂指函数）的求导问题。关键在于通过取对数将复杂的乘积、幂次转化为加法与乘法，简化求导过程。

解题思路：

1. 识别函数结构：题目中的函数形式为幂指函数（形如$u(x)^{v(x)}$），直接求导较复杂。
2. 取对数化简：对函数两边取自然对数，将幂指结构转化为乘积形式。
3. 隐函数求导：对等式两边关于$x$求导，利用乘积法则和链式法则分别求导。
4. 整理表达式：将导数表达式还原为原函数形式，最终得到微分$dy$。

破题关键：正确应用对数求导法的步骤，注意求导过程中各部分的符号和运算规则。

题目修正说明：原题中函数表达式可能存在排版错误，根据答案推断，正确函数应为：
$y(x) = (2 - x)^{\tan\left(\frac{\pi}{2}x\right)}, \quad \left(\frac{1}{2} < x < 1\right)$

解题步骤：

1. 取对数化简

对函数两边取自然对数：
$\ln y = \tan\left(\frac{\pi}{2}x\right) \cdot \ln(2 - x)$

2. 两边对$x$求导

对等式两边关于$x$求导：
$\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left[\tan\left(\frac{\pi}{2}x\right)\right] \cdot \ln(2 - x) + \tan\left(\frac{\pi}{2}x\right) \cdot \frac{d}{dx}\left[\ln(2 - x)\right)$

3. 分别计算导数

• 第一项导数：$\frac{d}{dx}\tan\left(\frac{\pi}{2}x\right) = \frac{\pi}{2} \sec^2\left(\frac{\pi}{2}x\right)$
• 第二项导数：$\frac{d}{dx}\ln(2 - x) = -\frac{1}{2 - x}$

代入后得：
$\frac{y'}{y} = \frac{\pi}{2} \sec^2\left(\frac{\pi}{2}x\right) \cdot \ln(2 - x) - \frac{\tan\left(\frac{\pi}{2}x\right)}{2 - x}$

4. 解出$y'$

两边乘以$y$：
$y' = y \cdot \left[ \frac{\pi}{2} \sec^2\left(\frac{\pi}{2}x\right) \ln(2 - x) - \frac{\tan\left(\frac{\pi}{2}x\right)}{2 - x} \right]$

5. 写出微分$dy$

$dy = y' \, dx = (2 - x)^{\tan\left(\frac{\pi}{2}x\right)} \left[ \frac{\pi}{2} \sec^2\left(\frac{\pi}{2}x\right) \ln(2 - x) - \frac{\tan\left(\frac{\pi}{2}x\right)}{2 - x} \right] dx$