0 3 (2) (2) 0 4-|||-三、已知向量组:A:a1= 2 a2= 1 ,a3= 0 ;B:β1= 1 ,β2= -2 β3= 4-|||-1 0 3-|||-1 1 1-|||-3 2 1 2 1 3-|||-证明:向量组B能由向量组A线性表示,但向量组A不能由向量组B线性表示。

步骤 1：构造矩阵并进行初等行变换
构造矩阵 \[ \begin{pmatrix} a1 & a2 & a3 & β1 & β2 & β3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 & 1 & -2 & 4 \\ 3 & 1 & 0 & 1 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 3 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \] 对矩阵进行初等行变换，化简为阶梯形矩阵。
步骤 2：判断向量组B能否由向量组A线性表示
如果阶梯形矩阵中，向量组B的列向量可以表示为向量组A的列向量的线性组合，则向量组B能由向量组A线性表示。
步骤 3：判断向量组A能否由向量组B线性表示
如果阶梯形矩阵中，向量组A的列向量可以表示为向量组B的列向量的线性组合，则向量组A能由向量组B线性表示。