题目
函数f(x)=(x)/(1+(x)^2 )是（ ）A. 奇函数B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 以上都不对
函数$f(x)=\frac{x}{1+{x}^{2} }$是（ ）
A. 奇函数
B. 偶函数
C. 非奇非偶函数
D. 以上都不对
题目解答
答案
A. 奇函数
解析
步骤 1：确定函数的定义域
函数$f(x)=\frac{x}{1+{x}^{2} }$的定义域为全体实数，因为分母$1+x^2$对于所有实数$x$都大于0，所以函数在实数范围内都有定义。
步骤 2：检查函数的奇偶性
为了确定函数的奇偶性，我们需要检查$f(-x)$是否等于$f(x)$或$-f(x)$。
计算$f(-x)$：
$$f(-x)=\frac{-x}{1+(-x)^{2} }=\frac{-x}{1+x^{2} }=-\frac{x}{1+x^{2} }=-f(x)$$
由于$f(-x)=-f(x)$，所以函数$f(x)$是奇函数。
步骤 3：确定正确选项
根据步骤2的结论，函数$f(x)$是奇函数，因此正确答案是A。
函数$f(x)=\frac{x}{1+{x}^{2} }$的定义域为全体实数，因为分母$1+x^2$对于所有实数$x$都大于0，所以函数在实数范围内都有定义。
步骤 2：检查函数的奇偶性
为了确定函数的奇偶性，我们需要检查$f(-x)$是否等于$f(x)$或$-f(x)$。
计算$f(-x)$：
$$f(-x)=\frac{-x}{1+(-x)^{2} }=\frac{-x}{1+x^{2} }=-\frac{x}{1+x^{2} }=-f(x)$$
由于$f(-x)=-f(x)$，所以函数$f(x)$是奇函数。
步骤 3：确定正确选项
根据步骤2的结论，函数$f(x)$是奇函数，因此正确答案是A。