20 单选(3分)设函数 =xy, 则__ -|||-bigcirc A.(0,0 )不是函数的极值点-|||-bigcirc B.(0,0)是函数的极小值点-|||-C.(0,0)不是函数的驻点-|||-D.(0,0)是函数的极大值点

考查要点：本题主要考查二元函数极值的判定方法，特别是驻点的判断及二阶导数检验法的应用。

解题核心思路：

1. 确定驻点：计算一阶偏导数，找到所有驻点。
2. 二阶导数检验：通过二阶偏导数构造判别式，判断驻点是否为极值点。
3. 结合选项分析：根据检验结果排除错误选项，确定正确答案。

破题关键点：

• 驻点的存在性：通过偏导数为零的条件判断(0,0)是否为驻点。
• 判别式的计算：通过二阶偏导数计算判别式$D$，结合符号判断极值类型。

步骤1：求一阶偏导数

函数$z = xy$的一阶偏导数为：
$\frac{\partial z}{\partial x} = y, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = x$

步骤2：确定驻点

令偏导数为零：
$\begin{cases}\frac{\partial z}{\partial x} = y = 0 \\\frac{\partial z}{\partial y} = x = 0\end{cases}$
解得唯一驻点$(0,0)$，因此选项C错误（(0,0)是驻点）。

步骤3：二阶导数检验

计算二阶偏导数：
$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 0, \quad \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 0, \quad \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 1$
构造判别式：
$D = \left( \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \right) \left( \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} \right) - \left( \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \right)^2 = 0 \cdot 0 - 1^2 = -1$
由于$D < 0$，根据二阶导数检验法，$(0,0)$不是极值点，而是鞍点。因此：

• 选项B、D错误（非极值点）。
• 选项A正确（(0,0)不是极值点）。