一个内半径R1，外 半径为R1的环形盘，其上均匀分布电荷，总电量为R1，求通过环形盘中心且与环形盘面垂直的轴线上各点的电势。

考查要点：本题主要考查带电薄板的电势计算，需要利用电势叠加原理和对称性简化积分。

解题核心思路：

1. 确定面电荷密度：环形盘电荷均匀分布，面密度 $\sigma = \dfrac{Q}{\pi(R_2^2 - R_1^2)}$。
2. 分割电荷元：将环形盘分割为无数个同心环，每个环的半径为 $r$，厚度为 $dr$，电荷量为 $dq = \sigma \cdot 2\pi r \, dr$。
3. 计算单个环的电势贡献：利用环形电荷在轴线上某点的电势公式 $dV = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \dfrac{dq}{\sqrt{r^2 + x^2}}$。
4. 积分求总电势：对所有环的电势贡献沿半径从 $R_1$ 到 $R_2$ 积分。

破题关键点：

• 对称性：轴线上各点的电势仅与到环心的距离 $x$ 有关，与角度无关。
• 积分技巧：正确处理被积函数 $\dfrac{r}{\sqrt{r^2 + x^2}}$ 的积分，结果为 $\sqrt{r^2 + x^2}$。

步骤1：确定面电荷密度

环形盘的面积为 $\pi R_2^2 - \pi R_1^2$，总电荷为 $Q$，故面电荷密度为：
$\sigma = \dfrac{Q}{\pi(R_2^2 - R_1^2)}.$

步骤2：分割电荷元

将环形盘分割为半径 $r$、厚度 $dr$ 的环形带，其电荷量为：
$dq = \sigma \cdot 2\pi r \, dr.$

步骤3：单个环的电势贡献

轴线上某点距离环心为 $x$，该环在该点产生的电势为：
$dV = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \dfrac{dq}{\sqrt{r^2 + x^2}} = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \dfrac{\sigma \cdot 2\pi r \, dr}{\sqrt{r^2 + x^2}}.$

步骤4：积分求总电势

总电势为所有环的电势叠加：
$V = \int_{R_1}^{R_2} dV = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} \int_{R_1}^{R_2} \dfrac{r}{\sqrt{r^2 + x^2}} \, dr.$
积分结果为：
$\int \dfrac{r}{\sqrt{r^2 + x^2}} \, dr = \sqrt{r^2 + x^2} + C.$
代入上下限得：
$V = \dfrac{Q}{2\varepsilon_0(R_2^2 - R_1^2)} \left( \sqrt{R_2^2 + x^2} - \sqrt{R_1^2 + x^2} \right).$