题目
5.8 利用留数计算下列积分.-|||-(1) (theta )_(1)=1dfrac (dz)(zsin z) ,-|||-(2) (phi )_(|z|)=3/2 dfrac ({e)^i}((z-1){(z+3))^2}dz ;-|||-(3) (int )_(|z|=2)dfrac ({e)^2z}({(z-1))^2}dz .-|||-(4) _(|x|)=1/2 dfrac (sin z)(z(1-{e)^x)}dz5.8 利用留数计算下列积分.-|||-(1) (theta )_(1)=1dfrac (dz)(zsin z) ,-|||-(2) (phi )_(|z|)=3/2 dfrac ({e)^i}((z-1){(z+3))^2}dz ;-|||-(3) (int )_(|z|=2)dfrac ({e)^2z}({(z-1))^2}dz .-|||-(4) _(|x|)=1/2 dfrac (sin z)(z(1-{e)^x)}dz
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算积分 ${\theta }_{1}=1\dfrac {dz}{z\sin z}$
函数 $f(z) = \dfrac{1}{z\sin z}$ 在 $z=0$ 处有一个奇点，我们需要计算这个奇点的留数。由于 $z=0$ 是一个二阶极点，我们可以通过计算 $f(z)$ 在 $z=0$ 处的泰勒展开来找到留数。
步骤 2：计算积分 ${\phi }_{|z|}=3/2\quad \dfrac {{e}^{i}}{(z-1){(z+3)}^{2}}dz$
函数 $f(z) = \dfrac{{e}^{i}}{(z-1){(z+3)}^{2}}$ 在 $z=1$ 和 $z=-3$ 处有奇点。由于积分路径是 $|z|=3/2$，只有 $z=1$ 在积分路径内，我们需要计算 $z=1$ 处的留数。
步骤 3：计算积分 ${\int }_{|z|=2}\dfrac {{e}^{2z}}{{(z-1)}^{2}}dz$
函数 $f(z) = \dfrac{{e}^{2z}}{{(z-1)}^{2}}$ 在 $z=1$ 处有一个二阶极点。我们需要计算 $z=1$ 处的留数。
步骤 4：计算积分 ${f}_{|x|}=1/2\quad \dfrac {\sin z}{z(1-{e}^{x})}dz$
函数 $f(z) = \dfrac{\sin z}{z(1-{e}^{x})}$ 在 $z=0$ 和 $z=2k\pi i$ 处有奇点。由于积分路径是 $|z|=1/2$，只有 $z=0$ 在积分路径内，我们需要计算 $z=0$ 处的留数。
步骤 5：计算积分 ${\theta }_{1=1}=1\quad \dfrac {dz}{{(z-a)}^{n}{(z-b)}^{n}}$
函数 $f(z) = \dfrac{1}{{(z-a)}^{n}{(z-b)}^{n}}$ 在 $z=a$ 和 $z=b$ 处有奇点。我们需要根据 $|a|$ 和 $|b|$ 的大小关系来确定哪些奇点在积分路径内，并计算这些奇点的留数。
函数 $f(z) = \dfrac{1}{z\sin z}$ 在 $z=0$ 处有一个奇点，我们需要计算这个奇点的留数。由于 $z=0$ 是一个二阶极点，我们可以通过计算 $f(z)$ 在 $z=0$ 处的泰勒展开来找到留数。
步骤 2：计算积分 ${\phi }_{|z|}=3/2\quad \dfrac {{e}^{i}}{(z-1){(z+3)}^{2}}dz$
函数 $f(z) = \dfrac{{e}^{i}}{(z-1){(z+3)}^{2}}$ 在 $z=1$ 和 $z=-3$ 处有奇点。由于积分路径是 $|z|=3/2$，只有 $z=1$ 在积分路径内，我们需要计算 $z=1$ 处的留数。
步骤 3：计算积分 ${\int }_{|z|=2}\dfrac {{e}^{2z}}{{(z-1)}^{2}}dz$
函数 $f(z) = \dfrac{{e}^{2z}}{{(z-1)}^{2}}$ 在 $z=1$ 处有一个二阶极点。我们需要计算 $z=1$ 处的留数。
步骤 4：计算积分 ${f}_{|x|}=1/2\quad \dfrac {\sin z}{z(1-{e}^{x})}dz$
函数 $f(z) = \dfrac{\sin z}{z(1-{e}^{x})}$ 在 $z=0$ 和 $z=2k\pi i$ 处有奇点。由于积分路径是 $|z|=1/2$，只有 $z=0$ 在积分路径内，我们需要计算 $z=0$ 处的留数。
步骤 5：计算积分 ${\theta }_{1=1}=1\quad \dfrac {dz}{{(z-a)}^{n}{(z-b)}^{n}}$
函数 $f(z) = \dfrac{1}{{(z-a)}^{n}{(z-b)}^{n}}$ 在 $z=a$ 和 $z=b$ 处有奇点。我们需要根据 $|a|$ 和 $|b|$ 的大小关系来确定哪些奇点在积分路径内，并计算这些奇点的留数。