设 gt 0, 求 (int )_(-a)^asqrt ({a)^2-(x)^2}ln dfrac (x+sqrt {1+{x)^2}}(3)dx,

步骤 1：将原积分拆分为两个积分
原积分可以拆分为两个积分，一个积分是 $\int_{-a}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \ln(x + \sqrt{1 + x^2}) dx$，另一个积分是 $-\int_{-a}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \ln 3 dx$。
步骤 2：利用奇函数性质
由于 $\ln(x + \sqrt{1 + x^2})$ 是奇函数，而 $\sqrt{a^2 - x^2}$ 是偶函数，所以它们的乘积 $\sqrt{a^2 - x^2} \ln(x + \sqrt{1 + x^2})$ 是奇函数。根据奇函数在对称区间上的积分性质，$\int_{-a}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \ln(x + \sqrt{1 + x^2}) dx = 0$。
步骤 3：计算第二个积分
第二个积分 $-\int_{-a}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \ln 3 dx$ 可以简化为 $-\ln 3 \int_{-a}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} dx$。根据定积分的几何意义，$\int_{-a}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} dx$ 表示半径为 $a$ 的半圆的面积，即 $\frac{\pi}{2} a^2$。
步骤 4：计算最终结果
将步骤 3 的结果代入，得到 $-\ln 3 \int_{-a}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} dx = -\ln 3 \cdot \frac{\pi}{2} a^2$。