题目
对敌机独立地射击三次，第一次击中的概率为0.4，第二次击中的概率为0.5，第三次击中的概率为0.7，敌机被击中一次而被击落的概率为0.2，被击中两次而被击落的概率为0.6，若被击中三次则必然被击落，则射击三次而击落飞机的概率为( )A. 0.458B. 0.387C. 0.7D. 0.95
对敌机独立地射击三次，第一次击中的概率为0.4，第二次击中的概率为0.5，第三次击中的概率为0.7，敌机被击中一次而被击落的概率为0.2，被击中两次而被击落的概率为0.6，若被击中三次则必然被击落，则射击三次而击落飞机的概率为( )
A. 0.458
B. 0.387
C. 0.7
D. 0.95
题目解答
答案
A. 0.458
解析
步骤 1：定义事件
设A_1，A_2，A_3分别表示第i次击中敌机，B_i (i=1，2，3)表示有i次击中敌机。
步骤 2：计算B_1，B_2，B_3的概率
B_1=${A}_{1}\overline{{A}_{2}}\overline{{A}_{3}}$+$\overline{{A}_{1}}{A}_{2}\overline{{A}_{3}}$+$\overline{{A}_{1}}\overline{{A}_{2}}{A}_{3}$，${B}_{2}={A}_{1}{A}_{2}\overline{{A}_{3}}+{A}_{1}\overline{{A}_{2}}{A}_{3}+\overline{{A}_{1}}{A}_{2}{A}_{3}$，B_3=A_1A_2A_3，
P(A_1)=0.4，P(A_2)=0.5，P(A_3)=0.7，
P(B_1)=0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7=0.36，
P(B_2)=0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7=0.41，
P(B_3)=0.4×0.5×0.7=0.14，
步骤 3：计算条件概率
P(C|B_1)=0.2，P(C|B_2)=0.6，P(C|B_3)=1，
步骤 4：应用全概率公式
P(C)=$\sum\limits_{i=0}^{3}P(C|{B}_{i})P({B}_{i})$=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.458．
设A_1，A_2，A_3分别表示第i次击中敌机，B_i (i=1，2，3)表示有i次击中敌机。
步骤 2：计算B_1，B_2，B_3的概率
B_1=${A}_{1}\overline{{A}_{2}}\overline{{A}_{3}}$+$\overline{{A}_{1}}{A}_{2}\overline{{A}_{3}}$+$\overline{{A}_{1}}\overline{{A}_{2}}{A}_{3}$，${B}_{2}={A}_{1}{A}_{2}\overline{{A}_{3}}+{A}_{1}\overline{{A}_{2}}{A}_{3}+\overline{{A}_{1}}{A}_{2}{A}_{3}$，B_3=A_1A_2A_3，
P(A_1)=0.4，P(A_2)=0.5，P(A_3)=0.7，
P(B_1)=0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7=0.36，
P(B_2)=0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7=0.41，
P(B_3)=0.4×0.5×0.7=0.14，
步骤 3：计算条件概率
P(C|B_1)=0.2，P(C|B_2)=0.6，P(C|B_3)=1，
步骤 4：应用全概率公式
P(C)=$\sum\limits_{i=0}^{3}P(C|{B}_{i})P({B}_{i})$=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.458．