曲线 y = 2 ln x + x ^ 2 + 5 的凸区间是

考查要点：本题主要考查函数凹凸区间的判断方法，需要掌握二阶导数的计算及不等式求解。

解题核心思路：

1. 求二阶导数：先对函数求一阶导数，再对一阶导数求导得到二阶导数。
2. 解不等式：根据凹凸性定义，找到二阶导数小于0的区间。
3. 结合定义域：注意原函数中$\ln x$的存在，确定$x>0$的限制。

破题关键点：

• 正确计算二阶导数，尤其注意分式项的导数符号。
• 解不等式时注意不等号方向变化，并结合定义域筛选最终区间。

步骤1：求一阶导数
函数为$y = 2\ln x + x^2 + 5$，对$x$求导：
$y' = \frac{2}{x} + 2x$

步骤2：求二阶导数
对一阶导数再次求导：
$y'' = -\frac{2}{x^2} + 2$

步骤3：解不等式$y'' < 0$
令$-\frac{2}{x^2} + 2 < 0$，整理得：
$-\frac{2}{x^2} < -2 \quad \Rightarrow \quad \frac{2}{x^2} > 2 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{x^2} > 1$

步骤4：解$\frac{1}{x^2} > 1$
两边取倒数（注意不等号方向变化）：
$x^2 < 1 \quad \Rightarrow \quad -1 < x < 1$

步骤5：结合定义域
原函数$\ln x$要求$x > 0$，因此取交集：
$0 < x < 1$