2.设X_(1),X_(2),... X_(n)...是独立随机变量序列，且X_(i)服从参数为λ的泊松分布，则下列各项正确的是（） (A）lim_(ntoinfty)P((sum_(i=1)^nX_(i)-nlambda)/(sqrt(nlambda))leq x)=Phi(x) (B)当n充分大时sum_(i=1)^nX_(i)服从正态分布N(nlambda,nlambda) (C)当n充分大时，sum_(i=1)^nX_(i)近似服从标准正态分布 (D)当n充分大时，lim_(ntoinfty)P(sum_(i=1)^nX_(i)leq x)=Phi(x) A A. B B. C C. D D.

为了解决这个问题，我们需要理解泊松分布的性质以及独立泊松随机变量和的性质。让我们逐步分析每个选项。 ### 选项 (A) \[ \lim_{n \to \infty} P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i - n\lambda}{\sqrt{n\lambda}} \leq x \right) = \Phi(x) \] 这个陈述是关于独立泊松随机变量和的标准化版本的极限。根据中心极限定理，独立同分布随机变量的和，当标准化后，随着变量数量的增加，其分布收敛到标准正态分布。对于泊松随机变量，均值和方差都是$\lambda$。因此，$\sum_{i=1}^{n} X_i$的均值是$n\lambda$，方差是$n\lambda$。 standardized版本是： \[ \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i - n\lambda}{\sqrt{n\lambda}} \] 根据中心极限定理，当$n \to \infty$时，这个表达式的分布收敛到标准正态分布，由$\Phi(x)$表示。因此，选项 (A) 是正确的。 ### 选项 (B) \[ \text{当 } n \text{ 充分大时，} \sum_{i=1}^{n} X_i \text{ 服从正态分布 } N(n\lambda, n\lambda) \] 这个陈述是关于独立泊松随机变量和的分布。当$n$充分大时，根据中心极限定理，$\sum_{i=1}^{n} X_i$的分布近似为正态分布，均值为$n\lambda$，方差为$n\lambda$。因此，$\sum_{i=1}^{n} X_i$近似服从正态分布$N(n\lambda, n\lambda)$。然而，这个陈述说它服从正态分布，这并不完全正确，因为只有当$n$非常大时，它才近似服从正态分布。因此，选项 (B) 是不正确的。 ### 选项 (C) \[ \text{当 } n \text{ 充分大时，} \sum_{i=1}^{n} X_i \text{ 近似服从标准正态分布} \] 这个陈述是不正确的，因为$\sum_{i=1}^{n} X_i$的均值是$n\lambda$，方差是$n\lambda$，所以它近似服从正态分布$N(n\lambda, n\lambda)$，而不是标准正态分布$N(0, 1)$。因此，选项 (C) 是不正确的。 ### 选项 (D) \[ \text{当 } n \text{ 充分大时，} \lim_{n \to \infty} P\left( \sum_{i=1}^{n} X_i \leq x \right) = \Phi(x) \] 这个陈述是不正确的，因为$\sum_{i=1}^{n} X_i$的均值是$n\lambda$，所以对于固定的$x$，当$n$充分大时，$P\left( \sum_{i=1}^{n} X_i \leq x \right)$非常小，接近0。它并不收敛到标准正态分布的分布函数$\Phi(x)$。因此，选项 (D) 是不正确的。 ### 结论 正确的选项是 $\boxed{A}$。