题目

理论力学在图示机构中,鼓轮质量m = 30 kg,轮半径R = 30 cm,轮轴半径r = 15 cm,对中心轴A的回转半径ρ = 20 cm,沿斜面作纯滚动,θ= 30°,定滑轮O质量不计,绳的倾斜段与斜面平行.当物体B上升2 m时,其速度由1.5 m/s增中到4.5 m/s,试求物体B的质量‍

理论力学
在图示机构中,鼓轮质量m = 30 kg,轮半径R = 30 cm,轮轴半径r = 15 cm,对中心轴A的回转半径ρ = 20 cm,沿斜面作纯滚动,θ= 30°,定滑轮O质量不计,绳的倾斜段与斜面平行.当物体B上升2 m时,其速度由1.5 m/s增中到4.5 m/s,试求物体B的质量‍

题目解答

答案


刚体平面运动微分方程
沿斜面方向 aA×m=mA×g-F-mgsinθ (1)
垂直斜面方向 0=N=mgcosθ (2)
动量矩定理 Jε=mA×g×r+F×R (3)
轮子只滚不滑 aA=εR (4)
由(3)式可知,ε是常量B作匀加速运动,设其加速度为aB,根据B上升2 m时,其速度由1.5 m/s增加到4.5 m/s,有
vB22-vB12=2×aB×S
即 4.52-1.52=2×aB×2
则 aB=4.5m/s
aB即为绳与轮轴切点的切向加速度,有
aB=aA+εr=εR+εr=(3/2)Rε=(3/2)aA
所以,轮子角加速度 ε=2×aB/3R=2×4.5/(3×0.3)=10rad/s2
转动惯量 J=mρ2+mA×r2=30×0.22+mA×0.152=1.2+0.0225×mA
现在(1)(3)方程中只有两个未知数：物体B的质量mA和摩擦力F,联立解
F=10mA-240
mA=45kg

解析

步骤 1：确定物体B的加速度
物体B上升2 m时，其速度由1.5 m/s增加到4.5 m/s。根据运动学公式，可以计算出物体B的加速度。
步骤 2：确定轮子的角加速度
由于轮子只滚不滑，轮子的角加速度与物体B的加速度有关。根据轮子的几何关系，可以计算出轮子的角加速度。
步骤 3：应用刚体平面运动微分方程
根据刚体平面运动微分方程，可以列出物体B和轮子的运动方程。联立解方程，可以求出物体B的质量。
步骤 4：计算转动惯量
根据转动惯量的定义，可以计算出轮子的转动惯量。
步骤 5：联立解方程
联立解方程，可以求出物体B的质量。